高等数学复旦大学出版社习题答案五

高等数学复旦大学出版社习题答案

习题五

． 求下列各曲线所围图形的面积：

（1） y=1

2

2 与x2+y2=8(两部分都要计算)；

解：如图D1=D2

y=1 22

解方程组得

交点A(2，2) x2+y2=8

(1)

2

D x2 1x2 dx=π+21= 02 3

∴ D+D4

12=2π+3

,

D44

3+D4=8π 2π+3=6π 3

（2） y=1

x

y=x及x=2；

22

解： D1= x 1dx= 1x2 lnx =3 ln2. 1 x 2 12

(2)

（3） y=ex，y=e x与直线x=1； 解：D= 1

ex e x)dx=e+

10(e2．

(3) （4） y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；

解：D= lnb

ylnaed

y=b

a．

(4)

1

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（5） 抛物线y=x和y= x 2；

y=x解：解方程组 得交点 (1，1)，( 1，1)

y= x2 2

2

22

D=

1

2

( x2+2 x2)dx=4 ( x+1)dx=．

0 1

1

8

3

(5) π9

（6） y=sinx，y=cosx及直线x=x=π；

44

4

解：D=2 (sinx cosx)dx =2[ cosx sinx] 4=4．

4

4

5

5

(6)

（7） 抛物线y= x2+4x 3及其在(0， 3)和(3，0)处的切线； 解：y′= 2x+4． ∴y′(0)=4，y′(3)= 2． ∵抛物线在点(0， 3)处切线方程是y=4x 3

在(3，0)处的切线是y= 2x+6 3

两切线交点是(3)．故所求面积为

2

(7)

3

D

203

4x 3 x2 4x 3 dx xdx

2

332

2x 6 x2 4x 3 dx

20

x

32

3

2

6x 9 dx

94

.

（8） 摆线x=a(t sint)，y=a(1 cost)的一拱 (0 t 2 )与x轴；

解：当t=0时，x=0, 当t=2 时，x=2 a． 所以

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S

2πa0ydx

2π0

a 1 cost da t sint

a

2

2π

1 cost

2

0dt

3πa2

.

(8)

（9） 极坐标曲线 ρ=asin3φ；

2

解：D=3Da12 3sin2

3φdφ

=3a2 2 · 3 1 cos6φφ 02

2

=

3a4 · φ 16

sin6φ

3 0

2

= a

4

． (9) （10） ρ=2acosφ；

解：D=2D22

1=2 22

·4a·cosφdφ

0

=4a2

2 1 cos2φ0

2φ

=4a2112φ+2

φ

2 0

=4a212

2

a2．

(10)

2． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;

解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

(11)

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（2） r=θ及r=θ．

r=θ解：如图12，解方程组 2

r=θ

2

得cosθ=0或tanθ=

即θ=θ=．

26

3

(12)

21

6 (θ)2dθ D= θdθ+ ·

2 02

6

6θ = cos2θ +42

1sin4θ

4

6

2

= 6

92

3． 已知曲线f(x)=x x与g(x)=ax围成的图形面积等于a．

2

f(x)=x x2

解：如图13，解方程组 得交点坐标为(0，0)，(1 a，a(1 a))

g(x)=ax

2

∴D= 0(x x ax)dx

1 a

1213 = 1 a)·x

230=1

1 a)3 6

19(1 a)3= 62得a= 2．

1 a

依题意得

(13)

4． 设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。

解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)， D(A，0)，于是得到

ED所在的直线方程为：

y

=

h

(x A) a A

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(16)

对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为： x1=A

A aB b

y，同理可得该椭圆的另一半轴为： x2=B y． hh

故该椭圆面积为

A(y)= x1x2= A

A a B b

B h h

从而立体的体积为

A A ay B B by dy

V= 0A(y)dy= h h 0

h

h

1

=h[bA+aB+2(ab+AB)] . 6

5. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图

17.

(17)

解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．

过区间[ R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于

(2y)2=y2=(R2 x2) ( R≤x R) 4

从而该立体的体积为

A(x)=

R

22 V= A(x)dx= 3(R x)dx RR

R

43

． 3

6. 求下列旋转体的体积：

=

（1） 由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；

y=x解： 求两曲线交点 得(0，0)，(1，1)

y2=x3

34

V= 0(x x)dx

1

2

11

= x4 x5 45 0

=

（14） 20

1

（2）由y=x3，x=2，y

=

0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；

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2

解：见图14，V= x6

dx=128x7

08 2

Vy= 22 y3dy 0

=64

5

． （2） 星形线x2/3

+y2/3

=a2/3

绕x轴旋转； 解：见图15，该曲线的参数方程是：

3

x=acost y=asin3t

0 t 2 ， 由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为

Va

2

x=2 0ydx

=2

(asin3t)2d(acos3t)

2

=6 a3

72

2sintcostdt

=

32105

a3

(15)

7． 求下列曲线段的弧长： a) y2=2x ，0≤x≤2；

解：见图18，2yy′=2． y′=1y

∴1+y′2=1+

1

y

．从而 (18)

2

2

l=2 1+y′dx=2

1+

1ydx0

22

2

=2 1ydy ydy 0y2

02

=yy+ln(y+y) =2+ln(2+0b) y=lnx，≤x≤；

解：l=

3y′dx=

1+

1

xdx 3

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