浅析函数方程的一些解法

函数方程的解法是古老的分析问题之一,许多数学家都对它进行过系统的研究。目前,对函数方程的求解用初等数学对其解题还不够有待进一步完善。因此,用初等方法来对它进行地归纳探索对形成简便有效的解题方法具有重要意义的。

浅析函数方程的一些解法

(宜宾学院数学系 周文波 644000) 指导教师：张玲

摘 要

函数方程的理论是个历史悠久、内容丰富、应用广泛的数学分支，本文就函数方程的解进行探索归纳，从而得出求解函数方程的简洁有效方法. 关键词 函数方程； 解法

函数方程的解法是古老的分析问题之一,许多数学家都对它进行过系统的研究。目前,对函数方程的求解用初等数学对其解题还不够有待进一步完善。因此,用初等方法来对它进行地归纳探索对形成简便有效的解题方法具有重要意义的。

1引言

函数方程的解是古老的分析问题之一。早在200多年前的1769年法国数学家、理学家达郎贝尔在论证力的合成时，就导出了函数方程：f(x y) f(x y) 2f(x)f(y)。法国数学家柯西给出了这个方程的解，并创造了一种非常美妙的解法，这种方法被后人称为柯西方法。许多数学家都曾对函数方程进行过研究，可是至今还没有完整的理论和解法。函数方程的问题对逻辑思维的发展起着重要作用，是学习数学和日常生活分析问题、解决问题的深化。随着函数方程的广泛应用，这类问题就经常出现在高考，奥林匹克竞赛，以及IMO等数学常见考试中，这也从客观上说明了函数方程这个问题极具研究价值，对它进行研究能培养我们的创新意识。它的解法都各具特色，一些简单的函数方程，只需要以初等数学为工具便可解答，这类题目经常在数学竞赛中出现。因此，对函数方程的研究就显得非常有必要。

在数学竞赛中经常遇到与函数方程有关的问题,关于这类问题,主要是直接求解某一给定的函数方程或根据实际问题列出函数方程后再求解其它延伸问题。求解这类题型是有一定难度的,这些困难同函数方程本身有关,因为暂时探索出解函数方程的方法还不全面,大量的函数方程至今仍未解出,而已解出的函数方程中的大多数需用高等数学方法求解, 能运用初等方法求解的函数方程并不多，这里先介绍函数方程的性质,然后介绍用初等方法解函数方程的方法.

函数方程的解法是古老的分析问题之一,许多数学家都对它进行过系统的研究。目前,对函数方程的求解用初等数学对其解题还不够有待进一步完善。因此,用初等方法来对它进行地归纳探索对形成简便有效的解题方法具有重要意义的。

2 函数方程的求解策略

函数方程即含有未知函数的等式叫做函数方程。例如：

f(x) f( x)

f(x T) f(x)(常数T 0) f(x y) f(x) f(y) 1

等，都是函数方程，其中f(x)是未知函数.

如果函数f(x)在其定义域内的一切值均满足所给函数方程，那么称f(x)是该函数方程的解。函数方程的解是一个或几个，甚至无限多个函数。例如，上述第一个和第二个函数方程的解分别是一切偶函数，一切以T为周期的函数。 寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，叫做解函数方程。 有关函数方程方面的 题目大致可分为三类： （一）确定函数的表达式；

（二）确定满足函数方程的函数的性质； （三）确定函数的值。

2.1换元法

换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量），然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。是解函数方程的基本方法之一。对函数方程进行适当的变量代换，得到一个新的函数方程，从而来得到原方程的解。 例1[1] 已知

f(2x) x2 sinx，求f(x).

解： 令2x u(u 0)，则x log2u，于是， f(u) (lo2g u 0 u)2 sin(l2oug)，以x代u，得f(x) log2 x 0 2x sin(log2x)，

2.2 解方程组法

解方程组法是将函数方程的变量（或关系式）进行适当的变量代换（有时需要几次代换），得一个（或几个）新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组中的未知

函数方程的解法是古老的分析问题之一,许多数学家都对它进行过系统的研究。目前,对函数方程的求解用初等数学对其解题还不够有待进一步完善。因此,用初等方法来对它进行地归纳探索对形成简便有效的解题方法具有重要意义的。

函数f(x)，即可得出所求的函数方程的解。 例2[2] 设f:D ER\ 0，1 ，且f(x) f(

x 1

) 1 x ○1 x

求f(x).（第32届美国普特南数学竞赛题） 解 从原方程的形式可以看出，作变量代换x

y 1

1得 (y 0，1)是有作用的，带入○

y

f(f(

y 112y 1

，把这个式子中的y改写成x，得 ) f()

yy 1y

x 112x 1) f() ○2 x1 xx

112 z

(z 0，1)，代入○) f(z) 再令x 1得f( 1 z1 z1 z

12 x) f(x) 把z换成x，又得f( ○3 1 x1 x

x 11

)，f()的三元一次方把○1，○2，○3联立，就可以看成是一个关于f(x)，f(xx 1

程组。

12 x2x 1x3 x2 1

1+○2-○3解之，可得 f(x) [(1 x) ] ○21 xx2x(x 1)经验证这个函数满足原函数方程。

1

f() f(x)lgx 1， ○例3 f(x)是定义在 0，1 的实值函数，且x

[3]

求f(x).

1

解：以代x，得

x

1

f(x) f()( lgx) 1 ○2

x

1

f() f(x)lgx 1 x1

f()，得: 1○2联立，得 消去○1x f(x) f()( lgx) 1

x

f(x)

1 lgx

，(x 0) 1 lgx

函数方程的解法是古老的分析问题之一,许多数学家都对它进行过系统的研究。目前,对函数方程的求解用初等数学对其解题还不够有待进一步完善。因此,用初等方法来对它进行地归纳探索对形成简便有效的解题方法具有重要意义的。

此方法的特点已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其它

1

未知量，如：f( x)，f()等，必须根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通

x

过解方程组求出f(x)。用此方法解题的关键是得出一个新元，将新元换为x，然后和原方程联立求解，最后得出f(x). 这种方法无需进行过多的结构分析、对原来方程进行变形等。此方法虽和换元法有联系，但解决问题的思路还是比较简单。

2.3 赋值法

赋值法是在函数定义域内，赋予变量（一个或几个）一些特殊值或式子，使方程化简，从而使问题获得解决.

例4[1] 设f(x)是定义在R上的不恒等于零的函数，f() 0,且对任意x，y R，恒

2有

f(x) f(y) 2f(

x yx y

)f() ○1 22

证明：（1）f(x 2 ) f(x)； （2）f( x) f(x)； （3）f(2x) 2f2(x) 1.

证明：（1）在○1中，以x ，x分别代替x，y，得f(x ) f(x) 2f(x f(x ) f(x) f(x 2 ) f[(x ) ] f(x) （2）在○1中，令x y a，则

f(a) f(a) 2f(a) f(0) ○2 因f(x)不恒等于0，故必有x0，使f(x0) 0，不妨取，则f(a) 0，由○2可得f(0) 1.于是f(x) f( x) 2f(0) f(x) 2f(x) f( x) f(x) （3）在○1中，以2x，0分别代x，y，得

)f() 0

22

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