前面已经讲过量子力学中用微扰法求解问题的条件是体系

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5.4

变分法

前面已经讲过量子力学中用微扰法求解问题的条件是 体系哈密顿算符 H 可分为 H 0 和 H ′ 两部分，而且H 0 的 本征值和本征函数是已知的，而H ′ 很小。如果这些 条件不能满足，微扰法就不能应用。 本节介绍量子力学中求解问题的另一种近似方法—— 变分法。 设体系哈密顿算符 H 的本征值由小到大的顺序排列为

E0 , E1, E2 , L En , L相应的本征函数是

ψ0 , ψ1, ψ2 , L ψn , L

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5.4

变分法

E0 ,ψ 0 是基态能量和基态波函数。为简便起见，我们 假定 H 的本征值 E n是分立的，本征函数系{ψ n } 组成 正交归一系，于是有设任意归一化函数ψ ,按 {ψ n } 展开 ψ = ∑ anψ n 在 ψ 所描写的状态中，体积能量的平均值是n* * * * < H >= ∫ψ *Hψ dτ = ∑aman ∫ψmHψ ndτ = ∑aman En ∫ψ mψndτ m,n m,n 2

Hψ n = Enψ n

(5.4.1) (5.4.2)

= ∑a a E δm,n

* m n n m,n

= ∑ an Enn

(5.4.3)

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5.4

变分法0 n 0

n 这个不等式表明，用任意波函数ψ 算出 H 的平均值总是 大于体系基态能量，而只有当ψ 恰好是体系的基态波函 数ψ 0 时， 的平均值才是基态能量 E 0 。 H

由于 E 0 是基态能量，所以有 E0 ≤ En ,在上式中用 E0 >≥ E ∑ a 2 = E 代替 E ,则 < H (5.4.4)n

上面讨论中曾经假设 ψ 是归一化的，如果ψ 不是归一化的， 那么上式应该写为： ψ *Hψ dτ ψ *Hψ dτ ∫ ∫ < H >= , E0 ≤ (5.4.5) * * ∫ψ ψ dτ ∫ψ ψ dτ

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变分法

这说明，利用任意波函数ψ 算得 H 的平均值可给出基 态能量的上限。如若选择一系列波函数，分别用他们 去计算 H 的平均值，则对应最小的一个值的波函数， 最接近真正的基态波函数 ψ0 ,相应地，对应最小的一 个值也最接近真正的基态能量 E0 。利用这种性质，可 以提出一种变分法来近似的求出基态能量。 选择一个含变分参量 λ 的尝试波函数ψ ( λ ) ,用它 计算 H 的平均值

< H (λ ) >=

ψ * (λ)Hψ (λ)dr ∫

ψ * (λ)ψ (λ)dr ∫

(5.4.6)

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5.4δ < H (λ ) > =0 δλ λ =λ0

变分法

然后将< H (λ ) >对 λ 变分取极小值 (5.4.7)

将 λ 0 代入，得出 < H (λ0 ) > ,则 < H (λ0 ) >就是 E0 的近似值， ψ ( λ0 ) 就是近似波函数。