数的整除特征的证明

数的整除特征的证明

一、 自然数分解

以五位数举例

abcde=a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

二、一个数能被2或5整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为10能被2或5整除，所以10的整数倍能被2或5整除，

所以（a×10000+b×1000+c×100+d×10）能被2或5整除，所以只要个位上的e能被2或5整除，则这个数能被2或5整除。

三、一个数能被4或25整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为100能被4或25整除，所以100的整数倍能被4或25整除，所以（a×10000+b×1000+c×100）能被4或25整除，所以只要末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除。

四、一个数能被8或125整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

因为1000能被8或125整除，所以1000的整数倍能被8或125整除，所以（a×10000+b×1000）能被8或125整除，所以只要末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125

整除。

五、一个数能被3或9整除

abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e

=a×(9999+1)+b×(999+1)+c×(99+1)+d×(9+1)+e =a×9999+a+b×999+b+c×99+c+d×9+d+e

= a×9999+b×999+c×99+d×9+a+b+c+d+e

因为(a×9999+b×999+c×99+d×9)能被3或9整除，所以只要(a+b+c+d+e)能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。

六、一个数能被11整除

首先看

10 ÷11=1 ……-1

100 ÷11=9 …… 1

1000 ÷11=91 ……-1

10000 ÷11=909…… 1

注意到余数为1、-1交替，所以

d×10 ÷11=1 ……d×-1

c×100 ÷11=9 ……c× 1

b×1000 ÷11=91 ……b×-1

a×10000 ÷11=909……a× 1

所以abcde= a×10000+b×1000+c×100+d×10+e除以11的余数为（a-b+c-d+e）,所以如果（a-b+c-d+e）为零，则abcde可以被11整除。