【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测：第七章 解三

【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测：第七章 解三角形]

第七章 解三角形

第1讲 正弦定理和余弦定理

1．(2013年陕西)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

2．(2011年广东广州调研)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已

sinA

知a＝2，b＝3，则( )

sin A＋C

2323 B. C．－ D．－ 3232

3．(2011年全国)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )

11A．－ B.22C．－1 D．1

4．(2014年广东广州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝c

2B( )

b

A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC

5．(2012年重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC1

＝sinB＝________. 4

6．(2013年福建)如图K7-1-1，在△ABC中，已知点D在BC边上，

AD⊥AC，sin∠BAC

2 ＝AB＝3 2，AD＝3，则BD的长为________．

3

图K7-1-1

7．(2012年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是________．

πππ

①若ab>c2，则C<②若a＋b>2c，则C<；③若a3＋b3＝c3，则C；④若(a＋b)c<2ab，

332

ππ则C>；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C23

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8．(2012年安徽)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.

(1)求角A的大小；

(2)若b＝2，c＝1，点D为BC的中点，求AD的长．

9．(2012年大纲)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2＝3ac，求A的大小．

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第2讲 解三角形应用举例

1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3 km，那么x的值为( )

3 B．2 3 C．2 3或3 D．3

2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

A．a km B.2a km C．2a km D.3a km 3．(2012年湖南)在△ABC中，若AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )

33 3 B. 223＋6339 D.

24

4．如图K7-2-1，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线

航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )

图K7-2-1

A．10 2海里 B．10 3海里

C．20 2海里 D．20 3海里

5．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )

A．1 B．2sin10° C．2cos10°

D．cos20° 6．(2012年四川)如图K7-2-2，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连

接EC，ED，则sin∠CED＝( )

图K7-2-2

3 C. D.10101015

7．(2012年湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝( )

A．4∶3∶2 B．5∶6∶7

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C．5∶4∶3 D．6∶5∶4

8．(2012年福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_________．

9．如图K7-2-3，甲船以30 2海里/时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直

线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10 2海里．问：乙船每小时航行多少海里？

图K7-2-3

10．(2012年新课标)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c3asinC－ccosA.

(1)求A的大小；

(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c的值．

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第七章 解三角形

第1讲 正弦定理和余弦定理

a2＋b2－c2a2＋c2－b22a2

1．A 解析：方法一：bcosC＋ccosB＝bc×＝a＝asinA，

2ab2ac2a

π

sinA＝1，A＝.△ABC为直角三角形．故选A.

2

方法二：bcosC＋ccosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA＝sinA·sinA，

π

sinA＝1，A＝.△ABC为直角三角形．故选A.

2

2．A 3.D

csinCsin2B2sinBcosB

4．B 解析：＝2cosB.

bsinBsinBsinB

155.4

a2＋b2－c22ab－ab1π2

7．①②③ 解析：①ab>c cosC＝C2ab2ab23

22222222

a＋b－c4 a＋b －4c4 a＋b － a＋b 21π

②a＋b>2c cosC＝＝C<2ab8ab8ab23

π

③当C≥时，c2≥a2＋b2 c3≥a2c＋b2c>a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾．

2

π

④取a＝b＝2，c＝1满足(a＋b)c<2ab，得C<.

2

π

⑤取a＝b＝2，c＝1满足(a2＋b2)c2<2a2b2，得C<3

8．解：(1)A＋C＝π－B，A，B∈(0，π) sin(A＋C)＝sinB>0，

1π

2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC＝sin(A＋C)＝sinB cosA＝ A＝.

23

π

(2)a2＝b2＋c2－2bccosA a＝3 b2＝a2＋c2 B＝.

273

在Rt△ABD中，AD＝AB＋BD＝12＋ 2＝.

2 2

π

9．解：由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，故3B＝π B＝，

3

2π

且CA.

3

2ππ

A sinA. ∵2b2＝3ac，∴2sin2B＝3sinAsinC 2×sin23sin 3 3

2π2π1－cos2A33

sincosA－cossinA sinA 3cosAsinA＋sin2A＝1 sin2A＋∴2＝3 3 3 422π12A－ ＝ 1 sin 6 2

2πππ7π

由0<A< －A

3666πππ5πππ

故2A－＝或2A－＝A＝A＝.

666662

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第2讲 解三角形应用举例

1．C 2.D

3．B 解析：设AB＝c.在△ABC中，由余弦定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，

2

即7＝c＋4－2×2×c×cos60°，c2－2c－3＝0， 即(c－3)(c＋1)＝0.又c>0，∴c＝3.

设BC边上的高为h，由三角形的面积公式，得

11

S△ABC＝AB·BC·sinB＝BC·h.

22113 3即×3×2×sin60°＝×2×h，解得h＝2224．A 解析：在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，∠ACB＝45°.由正

BC20

弦定理，得＝BC＝10 2.

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