常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论(2)

c1x1(t) + c2 x2 (t) ≡ 0,则当 t < 0 时, 有c2 = 0, 当 t ≥ 0时, 有 c1 = 0, 上线性无关. 故 x1(t), x2 (t)在 ( ∞,+∞)上线性无关17

常微分方程及其应用--方法、理论、建模、计算机周义仓、靳祯、秦军林编科学出版社

dn x d n 1x dx + a1(t) n 1 +…… n 1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt

(3.2.2)

x 定理3.4 定理3.4 若函数组 x1(t), 2 (t),L, xn (t) 是齐线性方程在区间( )上的n个线性无关的解 在区间(a, b)上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式 则它们的

W[x1(t),x2 (t),L, xn (t)]在该区间上任何点都不为零. 在该区间上任何点都不为零证明: 证明 用反证法 假设有 t0 ∈(a, b), 使得 W(t0 ) = 0.18

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考虑关于 c1, c2 ,L, cn 的齐次线性代数方程组

c1x1(t0 ) + c2 x2 (t0 ) +L+ cn xn (t0 ) = 0, c x′(t ) + c x′ (t ) +L+ c x′ (t ) = 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 L L L c x (n 1) (t

) + c x (n 1) (t ) +L+ c x (n 1) (t ) = 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1其系数行列式 W(t0 ) = 0,故它有非零解 c1, c2 ,L, cn , 故它有非零解 现以这组解构造函数 现以这组解构造函数

x(t) ≡ c1x1(t) + c2 x2 (t) +L+ cn xn (t), t ∈(a, b)由定理3.2 是齐线性方程的解. 由定理 知, x(t) 是齐线性方程的解19