常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论

常微分方程及其应用--方法、理论、建模、计算机周义仓、靳祯、秦军林编科学出版社

3.2 线性微分方程的基本理论 线性微分方程是常微分方程中一类 很重要的方程，它的理论发展十分完善， 很重要的方程，它的理论发展十分完善， 本节将介绍它的基本理论. 本节将介绍它的基本理论.

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一、基本概念n阶线性微分方程: 阶线性微分方程: 阶线性微分方程dx dnx 未知函数 x 及其各阶导数 ,L, n dt dt 均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程. 均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.

一般形式为: 一般形式为 dn x dn 1x dx + a1(t) n 1 +……an 1(t) + an (t)x = f (t) (3.2.1) dt n dt dt 式中 ai (t)(i =1,2L, n) 及 f (t) 是区间 a < t < b 上的连续函数。 上的连续函数。2

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dn x dn 1x dx + a1(t) n 1 +……an 1(t) + an (t)x = f (t) (3.2.1) n dt dt dt

n阶线性齐次微分方程: f (t) ≡ 0 阶线性齐次微分方程: 阶线性齐次微分方程

dn x d n 1x dx a + a1(t) n 1 +…… n 1(t) + an (t)x = 0 (3.2.2) n dt dt dtn阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程 阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程, 齐线性方程 (3.2.1)称非齐线性方程。 ) 非齐线性方程。

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d 2 x dx t 2 2 + t + (t 2 n2 )x = 0 dt dt d2x + 4x = sin t 2 dt

上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的 解的存在惟一性定理. 解的存在惟一性定理

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dn x dn 1x dx + a1(t) n 1 +……an 1(t) + an (t)x = f (t) (3.2.1) n dt dt dt

定理3.1:如果(3.2.1)的系数 ai (t)(i =1,2,L, n) 定理3.1:如果 3.1 ) 上连续， 及右端函数 f (t)在区间 a < t < b 上连续，( ( x0 , x01) ,Lx0n 1) 则对任一个 t0 ∈(a, b) 及任意的

方程(3.2.1) 方程(3.2.1)存在惟一的解 x = (t) 满足下列初始条件d (t0 ) d n 1 (t0 ) (t0 ) = x0 , = x0(1) ,L, = x0(n 1) dt dt n 15

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线性微分算子: 线性微分算子dnx d n 1x dx L[x] = n + a1(t) n 1 +L+ an 1(t) + an (t)x dt dt dt

例如: 例如

L[e ] = [λ + a1(t)λ + a2 (t)λn

λt

n 1

n 2

+L+ an 1(t)λ + an (t)]e

λt

性质3.1 性质3.1

L(cx) = cL(x)L c 为常数. L 为常数.

性质3.2 性质3.2 L(x1 + x2 ) = L(x1) + L(x2 )

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dn x d n 1x dx + a1(t) n 1 +…… n 1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt

(3.2.2)

二、齐次线性方程解的性质和结构定理3.2 叠加原理) 定理3.2 (叠加原理) 是方程(3.2.2) 个解， 如果 x1(t), x2 (t),L, xn (t) 是方程(3.2.2)的n个解， 则它的线性组合 c1x1(t) + c2 x2 (t) +L+ cn xn (t) 也是方程( 是常数. 也是方程(3.2.2)的解，这里 c1,L, cn 是常数 )的解，

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例1

验证 sin t,cos t, (t) = c1 sin t + c2 cos t 是方程 的解. x + x = 0的解. sin t,cos t, (t) = c1 sin t + c2 cos t''''

解: 分别将

代入方程, 得 代入方程

(sin t

) + sin t = 0

(cos t)'' + cos t = 0

'' (t) + (t) = c1[(sin t)'' + sin t] + c2[(cos t)'' + cos t] = 0所以为方程的解. 所以为方程的解8

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dn x d n 1x dx + a1(t) n 1 +…… n 1(t) + an (t)x = 0 (3.2.2) a n dt dt dt 基本解组: 如果方程( 基本解组 如果方程(3.2.2)的任意一个解 (t) )都可以表示为

∑c x (t) , 则称 x (t), x (t),L, x (t)i=1 i i

n

1

2

n

的基本解组。 的基本解组。 是方程组( 是方程组(3.2.2) ) 线性相关: 对定义在区间 b)上的函数组 线性相关 对定义在区间(a, 上的函数组

x1(t), x2 (t),L, xn (t)如果存在不全为0 如果存在不全为0的常数 c1,L, cn , 使得

c1x1(t) + c2 x2 (t) +L+ cn xn (t) = 0 在(a, b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上 )上恒成立,线性相关，不然称这些函数线性无关 线性相关，不然称这些函数线性无关.9

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在任何区间上都是 例2: 函数 1 t, t 2,L, t n 在任何区间上都是 , 线性无关的， 线性无关的，因为如果

c0 + c1t + c2t +L+ cnt = 02 n

(3.2.5)

, 时才成立. 只有当所有的 ci = 0(i = 0,1 L, n) 时才成立.事实上, 如果至少有一个 ci ≠ 0, 事实上 式的左端是一个不高于n次的多项式 次的多项式， 则 (3.2.5) 式的左端是一个不高于 次的多项式， 它最多可有n个不同的根 它最多可有 个不同的根 . 它在所考虑的区间上 不能有多于n个零点 更不可能恒为零. 不能有多于 个零点, 更不可能恒为零 个零点10

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注1:在函数 x1(t), x2 (t),L, xk (t) 中有一个函数 等于零, 等于零 则函数 x1(t), x2 (t),L, xk (t) 在(a, b)上线性相关。 )上线性相关。 考虑到两个函数构成的函数组 注2:考虑到两个函数构成的函数组 x1(t), x2 (t)

x1(t) x2 (t) 上有定义, 在(a, b) 上有定义 如果 或 x2 (t) x1(t)则在( ) 则在(a, b)上线性无关的充要条件为

x1(t) x2 (t) 在(a, b)上不恒为常数. )上不恒为常数. 或 x2 (t) x1(t)11

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在任何区间上都线性无关. 例3: sin t,cos t在任何区间上都线性无关. 在任何区间上都线性相关. cos2 t,1 sin2 t 在任何区间上都线性相关. 注3:函数组的线性相关与线性无关是 依赖于所取的区间。 依赖于所取的区间。 例4: 函数 x1(t) = t , x2 (t) = t在 ∞, ) ( +∞ 上 上是线性相关的. 是线性无关, 是线性无关 而在 (0,+∞)和 ( ∞,0) 上是线性相关的.

x1(t) 1, t < 0, 事实上 = x2 (t) 1, t > 0.上不是常数, 在区间 ( ∞,+∞) 上不是常数 分别在区间( ∞,0) 上是常数. 和 (0,+∞) 上是常数12

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Wronskian 行列式: 行列式 个 由定义在区间( ) 由定义在区间(a, b)上的 k个k-1次可微函数

x1(t), x2 (t),L, xk (t) 所作成的行列式W[x1(t), x2 (t),Lxk (t)] = x1(t) ′ x1(t) M x2 (t) ′ x2 (t) M L L xk (t) x′ (t) k

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