贾俊平 统计学 第8章 方差分析与实验设计

统 计 学 数据分析(方法与案例)作者 贾俊平

统计学STATISTICS (第四版)

统计名言

警惕过多地假设检验。你对数据越 苛求，数据会越多地向你供认，但 在威逼下得到的供词，在科学询查 的法庭上是不容许的。

——Stephen M.Stigler8-2 2013-1-31

第 8 章 方差分析与实验设计8.1 8.2 8.3 8.4 方差分析的基本原理 单因素方差分析 双因素方差分析 实验设计初步

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学习目标

方差分析的基本思想和原理 单因素方差分析 多重比较 只考虑主效应的双因素方差分析 考虑交互效应的双因素方差分析 实验设计方法与数据分析

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不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？

奥运会女子团体射箭 比赛，每个队有3名 运动员。进入最后决 赛的运动队需要进行 4组射击，每个队员 进行两次射击。这样， 每个组共射出6箭， 4组共射出24箭 在2008年8月10日进 行 的 第 29 届 北 京 奥 运会女子团体射箭比 赛中，获得前3名的 运动队最后决赛的成 绩如下表所示

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不同运动队的平均成绩之间是否有显著差异？

每个队伍的24箭成绩可以看作是该队伍射箭成绩的一个随机样 本。获得金牌、银牌和铜牌的队伍之间的射箭成绩是否有显著 差异呢？ 如果采用第6章介绍的假设检验方法，用分布做两两的比较， 则需要做次比较。这样做不仅繁琐，而且每次检验犯第Ι类错 误的概率都是，作多次检验会使犯第Ι类错误的概率相应地增 加，检验完成时，犯第Ι类错误的概率会大于。同时，随着检 验的次数的增加，偶然因素导致差别的可能性也会增加 采用方差分析方法很容易解决这样的问题，它是同时考虑所有 的样本数据，一次检验即可判断多个总体的均值是否相同，这 不仅排除了犯错误的累积概率，也提高了检验的效率方差分析 方法就很容易解决这样的问题，它是同时考虑所有的样本数据， 一次检验即可判断多个总体的均值是否相同，这不仅排除了犯 错误的累积概率，也提高了检验的效率2013-1-31

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第 8 章 方差分析与实验设计8.1 方差分析的基本原理

8.1.1 什么是方差分析？ 8.1.2 误差分解 8.1.3 方差分析的基本假定

8.1 方差分析的基本原理8.1.1 什么是方差分析？

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什么是方差分析(ANOVA)?(analysis of variance)

1. 方差分析的基本原理是在20世纪20年代由英国统计 学家Ronald A.Fisher在进行实验设计时为解释实验 数据而首先引入的 2. 分析各分类自变量对数值因变量影响的一种统计方 法 3. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响

一个或多个分类型自变量

两个或多个 (k 个) 处理水平或分类

一个数值型因变量 单因素方差分析：涉及一个分类的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量2013-1-31

4. 有单因素方差分析和双因素方差分析

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什么是方差分析?(例题分析)

【 例 8-1】确定超市的位置和竞争者的数量对销售额是否 有显著影响，获得的年销售额数据(单位：万元)如下表因素

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水平或处理

样本数据

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什么是方差分析?(例题分析)

1. 分析“超市位置”和“竞争者数量”对销售额的影响 2. 如果只分析超市位置或只分析竞争者数量一个因素对销售 额的影响，则称为单因素方差分析(one-way analysis of variance) 3. 如果只分析超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的单 独影响，但不考虑它们对销售额的交互效应(interaction), 则称为只考虑主效应(main effect)的双因素方差分析，或 称为无重复双因素分析(two-factor without replication) 4. 如果除了考虑超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的 单独影响外，还考虑二者对销售额的交互效应，则称为考 虑交互效应的双因素方差分析，或称为可重复双因素分析 (two-factor with replication)8 - 11 2013-1-31

8.1 方差分析的基本原理8.1.2 误差分解

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方差分析的基本原理(误差分解)

1. 总误差(total error) 反映全部观测数据的误差 所抽取的全部36家超市的销售额之间差异

2. 处 理 误 差 (treatmenterror)

error)— 组 间 误 差 (between-group

由于不同处理造成的误差，它反映了处理(超市位置)对观测数 据 (销 售额 ) 的影 响 ， 因此 称 为 处 理 效 应 (treatment effect)

3. 随机误差(random error)—组内误差(within-group error) 8 - 13

由于随机因素造成的误差，也简称为误差(error)

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方差分析的基本原理(误差分解)

1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，记为 SS 2. 总平方和(sum of squares for total),记为SST

反映全部数据总误差大小的平方和 抽取的全部36家超市销售额之间的误差平方和

3. 处理平方和(treatment sum of squares),记为SSA

反映处理误差大小的平方和 也称为组间平方和(between-group sum of squares)

4. 误差平方和(sum of squares of error),记为SSE 反映随机误差大小的平方和称为误差平方和 也称为组内平方和(within-group sum of squares)

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方差分析的基本原理(误差分解)误差平方和的分解及其关系

总误差

=

处理误差

+

随机误差

总平方和 (SST)

=

处理平方和 (SSA)

+

误差平

方和 (SSE)

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方差分析的基本原理(误差分析)

1. 方差分析的基本原理就是要分析数据的总误差中 有没有处理误差。如果处理(超市的不同位置)对 观测数据(销售额)没有显著影响，意味着没有处 理误差。这时，每种处理所对应的总体均值( i)应 该相等 2. 如果存在处理误差，每种处理所对应的总体均值 ( i)至少有一对不相等 3. 就例8—1而言，在只考虑超市位置一个因素的情 况下，方差分析也就是要检验下面的假设 H0 : 1 2 3 H1 : 1 , 2 , 3 不全相等8 - 16 2013-1-31

8.1 方差分析的基本原理8.1.3 方差分析的基本假定

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方差分析的基本假定

1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布，即对于 因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单 随机样本

在例8—1中，要求每个位置超市的销售额必须服从正态分布 检验总体是否服从正态分布的方法有很多，包括对样本数据作 直方图、茎叶图、箱线图、正态概率图做描述性判断，也可以 进行非参数检验等

2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方差必须 相同，对于分类变量的个水平，有 12= 22=…= k2

在例8—1中，要求不同位置超市的销售额的方差都相同

3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因素各水平 的独立样本(该假定不满足对结果影响较大) 8 - 18

在例8—1中，3个样本数据是来自不同位置超市的3个独立样本2013-1-31

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