2004年天津市初中数学竞赛试题

13题带答案

年天津市初中数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知m n mn m n 1 0.则

(A)-1 (B)0 (C)1 2211 的值等于( )． mn (D)2

2．a、b、c为非零实数，且a+b+c≠0．若a b ca b c a b c ,则cba(a b)(b c)(c a)等于( )． abc

(A)8 (B)4

3．方程(C)2 (D)1 x 3 y 0的整数解有( )组． x 1

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4．如图1，在△ABC中，M是AC的中点，P、Q为边BC的三等分点．若BM与AP、AQ分别交于D、E两点，则BD、DE、EM三条线段的长度比等于( )．

(A)3：2：1 (B)4：2：1 (C)5：3：2 (D)5：2：1

5．在 ABC中， BAC: ABC: ACB 4：2：1，AD是 BAC的平分线，有如下三个结论：

①BC：AC：AB=4：2：1； ②AC=AD+AB； ③ DAC~ ABC.

其中正确的结论是( )．

(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③

6．如图2，在等腰 ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB、AC相切，切点分别为D、E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB、AC于M、N．那么

(A)1 8 BM CN的值等于( )． BC211(B) (C) (D)1 42

二、填空题(每小题6分，共30分)

7．已知x 3 13 144,y 则x y等于3 13 1

8．将边长为5的正方形的每条边五等分，连接相应的分点，如图3所示．则图中所有正方形的个数为 .

9．海滩上有一堆苹果是3只猴子的财产．第一只猴子来了，把苹果平均分成3堆还多出

l

13题带答案

平均分成3堆，又多出1个，它也把多出的那个苹果扔到海里，拿走了一堆；第三只猴子也照此办理．则原来至少有 个苹果．

10．如图4所示，AB是⊙O1的直径，AO1是⊙O2的直径，弦MN∥AB，且

MN与⊙O2相切于点C．若⊙O1的半径为2，则由O1B、

图形的面积等于 ．

围成

11．若1≤p≤20，1≤q≤l0，且方程4x2 px q 0的两根均为奇数，则此方程的根为 ．

三、解答题(每小题20分，共60分)

12.已知两个二次函数y1和y2，当x a(a 0)时，y1取得最大值5，且y2=25．又y2的最小值为-2,y1 y2 x2 16x 13.求a的值及二次函数y1、y2的解析式．

13．在正2004边形A1A2 A2004的各顶点上随意填上l，2，…，501中的一个数．试证明，一定存在四个顶点满足如下条件：

(1)这四个顶点构成的四边形为矩形；

(2)此四边形相对两顶点所填数之和相等．

14．已知直线l与⊙O交于不同的两点E、F，CD是⊙O的直径，CA l,DB l,垂足分别为A、B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，试问在线段AB上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与以点P、B、D为顶点的三角形相似?若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．

13 1、正2004边形一共有1002条经过中心的对角线，这也是其所内含矩形的对角线

设分别为lL1，L2，……，L1002，一共1002条对角线；

2、这些对角线两端的数字和取值为2、3、……、1002，一共1001种可能；

所以根据“抽屉原理”（或者“鸽笼原理”），至少会有两条对角线取值相同，那么以这两条对角线的四个端点所构成的四边形就符合了条件（2）

很容易证明上述四边形为矩形，即符合条件（1）