《高等数学》复习题库及答案(3)

??=-+-=--+0140117373117z y x z y x

四．证明题

1．证明不等式：?-≤+≤1

143

812dx x 证明：令[]1,1,1)(4-∈+=x x x f

则4343

12124)(x x x x x f +=+='，

令,0)(='x f 得x=0

f(-1)=f(1)=2,f(0)=1

则2)(1≤≤x f

上式两边对x 在[]1,1-上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有,1)1(211)(222424x x x x x x f +=+=++≤+=于是

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???---+≤+≤11

211411,)1(1dx x dx x dx 故 ?-≤+≤1

143

812dx x

2．证明不等式?>≤-≤21

0)2(,6

121n x dx n π 证明：显然当??????∈21,0x 时，（n>2）有 ??==-≤-≤?-≤-≤210210226021arcsin 112111

111πx x dx x dx x x n n 即，?>≤-≤21

0)2(,6

121n x dx n π

3．设)(x f ，g(x)区间[])0(,>-a a a 上连续，g(x)为偶函数，且)(x f 满足条件

。为常数)()()(A A x f x f =-+证明：??=-a a a dx x g A dx x g x f 0)()()( 证明：

dx x g x f dx x g x f dx x g x f a a a a ???+=--00)()()()()()( dx x g x f du u g u f u x dx x g x f a

a a

???-=---=-000)()()()()()(令 []?????=-+=+-=∴-a a a a a a dx x g A dx x g x f x f dx x g x f dx x g x f dx x g x f 0000)()()()()()()()()()(

4．设n 为正整数，证明??=202

0cos 21sin cos ππxdx xdx x n n n n

证明：令t=2x,有

???++==ππ

π012

0201sin 212)2(sin 21sin cos tdt x d x xdx x n n n n n n

,sin sin 212201???

? ??+=??+πππtdt tdt n n n 又，???=---=02202sin )(sin sin πππ

π

ππudu du u u t tdt n n n ，

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所

以，

?

??

??

==+=

+ππ

π

π

π

π

2

2

20

2020

1s 2

1

s i 21)s i s i (2

1s

i n c

o s x t

d

t d t

d

x x x n

n n

n n

n

n n

n

又，

???

=--=

20

2

2

cos cos 2

sin π

πππ

π

xdx tdt t x xdx n n n

因此，??

=202

cos 2

1

sin cos π

π

xdx xdx x n n

n

n

5．设)(t ?是正值连续函数，),0(,)()(>≤≤--=?-a a x a dt t t x x f a

a ?则曲线

)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

证明：?

?--+-=

x

a

a

x

dt t x t dt t t x x f )()()()()(??

????----+-=x

a

a

x

x

a

x

a

dt t x dt t t dt t t dt t x )()()()(????

????--+=-='x a

x

a

x a

a x

dt t dt t dt t dt t x f )()()()()(????

0)(2)()()(>=+='x x x x f ???

故，曲线)(x f y =在[]a a ,-上是凹的。

6.证明：??+=+1

1

122

11x x x dx x dx 证明：????=

+=+=-?++=

1

1

1111

1222

2

1

2

11)1(111

1x x x x u

x x dx u du du u u

x dx

令 7．设)(x f 是定义在全数轴上，且以T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则

?

?+=T

a a

T

dx x f dx x f 0

)()(

证明：?

??

?

=++=+=

+=+=

a

a

a

T x f x f T x f T

u x T

a T

dx x f dx

T x f du T u f dx

x f 0

)()

()()()()()(为周期以令

0)()(0

=+∴?

?+T a T

a

dx x f dx x f

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在等式两端各加?T

dx x f 0)(，于是得??+=T a a T

dx x f dx x f 0)()(

8．若)(x f 是连续函数，则???-=??

????x x u du u f u x du dt t f 000)()()( 证明：?

???-=??????x u x u du u uf x dt t f u du dt t f 0000)(0)()( ??-=x

x du u uf dt t f x 00

)()( ?-=x

du u f u x 0)()(

9．设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，证明至少存在一个),(b a ∈ξ使得 ??=ξ

ξξξa b dx x f g dx x g f )()()()( 证明：作辅助函数??=x a b

x dt t g dt t f x F )()()(，由于)(x f ,)(x g 在[]b a ,上连续，所以)(x F 在[]b a ,上连续，在（a,b ）内可导，并有0)()(==b F a F 由洛尔定理),(,0)(b a F ∈='ξξ 即ξξ==???????-='??????????x b x x a x x x a b x x g dt t f dt t g x f dt t g dt t f )()()()()()( ??-=b a dx x f g dx x g f ξξ

ξξ)()()()( ＝0

亦即，??=ξ

ξξξa b dx x f g dx x g f )()()()(

10．设)(x f 在[]b a ,上连续，证明：??-≤??? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

证明：令??--??? ??=x a x a dt t f a x dt t f x F )()()()(22

[]?≤--='x

a dt x f t f x F 0)()()(2

故)(x f 是 []b a ,上的减函数，又0)(=a F ，0)()(=≤a F b F

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故 ??-≤??? ??b a b a dx x f a b dx x f )()()(22

11．设)(x f 在[]b a ,上可导，且M x f ≤')(，0)(=a f 证明： ?-≤b

a a

b M dx x f 2)(2

)( 证明：由题设对[],,b a x ∈?可知)(x f 在[]b a ,上满足拉氏微分中值定理，于是有

()x a a x f a f x f x f ,),)(()()()(∈-'=-=ξξ 又M x f ≤')(，因而，)()(a x M x f -≤ 由定积分比较定理，有

??-=-≤b a b a a b M dx a x M dx x f 2)(2

)()(