高三数学第一轮复习测试及详细解答(6)——期中考试(3)

∴1＜x＜

3

.

x 1，

当0＜a＜1时，

x 1 2x（x－1），

20．解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，

∴

f(x1) f( x2)x1 ( x2)

＞0.

∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0. ∴f（x1）＜－f（－x2）.

又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）. ∴f（x1）＜f（x2）. ∴f（x）是增函数.

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（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）. （2）由f（x－

12

）＜f（x－

14

），得

1

1 x 1, 2

115

1 x 1, ∴－≤x≤.

424

11 x x ,

24

∴不等式的解集为{x|－

12

≤x≤

54

}.

（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c， ∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.

由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c， ∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}. ∵P∩Q= ，

22

∴1+c＜－1+c或－1+c＞1+c， 解得c＞2或c＜－1.

21．解（理）（1）由题意B(0,1)，A(0, b)， PAB 45 ，

∴AB·AP=|AB|·|AP|·cos45°=|AB|2=9,得b 2. ∴P(3,1)，代入椭

9a

2

222

圆方程得

14

1，∴a 12。故所求椭圆的方程为

2

x

2

12

y

2

4

1。

y 1

另解 直线AP的方程为y x b，由 ，得P(b 1,1)，

y x b

∴AB AP=(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)=9，以下同上。

（2）由AB AP=9，得t b 3(t 0,b 0) ①，将P(3,t)代入椭圆方程得 9a

2

2

tb

22

1，即a

2

9b

2

22

b t

9

，∵a b，∴

6t6t 9

22

9b

2

22

b t

b，即

2

9b t32

2

2

1 ②，由①

得b 3 t，代入③得

9 6t

1 0，∴ 0，解得0 t 。

评析 （1）中利用数量积公式，把向量关系巧妙转化为长度关系，进而求出b的值，

得到点P的坐标代入椭圆方程即可，简化了运算。又利用两条直线的交点解出点P的坐

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标，利用向量的坐标运算求出b的值，有异曲同工之妙。 （2）中利用向量关系得到t,b的方程，借助椭圆中隐含的a b关系建立不等式，非常巧妙。

（文） f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab（1）切线m的斜率k1=f'(0)=ab，切线n的斜率

'

ab=b(b-a) 即b=2a是m∥n的充要条件。 k2=f(b)=b(b-a)，直线m∥n k1=k2，∴

（2）由题意，s，t是方程f'(x)=3x2-2(a+b)x+ab=0的两根，又∵f'(0)=ab>0，∴ f(x)在区间(0,a)，(a,b)上各有一个实根，又s<t， f(a)=a(a-b)<0，f(b)=b(b-a)>0，

∴ 0<s<a<t<b.

评析 本题综合性较强，要学会用导数解决或证明一些问题，尤其要注意导函数为二次函数的研究。

22．解 （理）（1）由已知Pn 1Pn (n 1)PnPn 1，令n 2，P1P2 P2P3，所以a2 1，令n 3，

P2P3 2P3P4，所以a3

12

'

'

'

，同理

anan 1

1n 1

，

所以an

1n 1

1

an 1

1

n 1n 2

1

1

an 2

1

n 1n 2

1

1

12

1

1(n 1)!

.

（2）因为

(n 1)!

1 2 3 (n 1)

11!

12!

2 2 2 2

12

12

n 2

a1+a2+a3+ +an=1

1(n 1)!

1 1

12

2

12

n 2

1n 1

1 ()

1n 2

2 1 3 () 3； 121

2

而n 1时，易知a2 1 3成立，所以a1+a2+a3+ +an 3。 （3）假设有两个点A(p,ap)，B(q,aq)，都在函数y

k(x 1)

2

上，即ap

k(p 1)

2

，

aq

k(q 1)

2

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(q 1)(p 1)(q 1)n

所以消去k得= ①，以下考查数列bn k k，

(p 1)!(q 1)!(p 1)!(q 1)!n!

(p 1)

22222

的增减情况， bn bn 1

n

2

n!

(n 1)

2

(n 1)!

n (n 1)(n 1)!

2

n 3n 1(n 1)!

2

，

当n 2时，n2 3n 1 0，所以对于数列{bn}有b2 b3 b4 bn ∴不可能存在p，q使得①式成立，因而不存在。

评析 数列的递推关系及增减情况，是近几年高考压轴题的着眼点。 （文）（1）由题意B(0,1)，A(0, b)， PAB 45 ，

∴AB·AP=|AB|·|AP|·cos45°=|AB|2=(b+1)2=9,得b 2。∴P(3,1)，代入椭

9a

2

圆方程得

14

1，∴a 12。故所求椭圆的方程为

2

x

2

12

y

2

4

1。

y 1另解 直线AP的方程为y x b，由 ，得P(b 1,1)，

y x b

∴AB AP=(0,1+b)·(1+b,1+b)=(1+b)2=9，以下同上。

（2）由AB AP=9，得t b 3(t 0,b 0 ) ①，将P(3t,)代入椭圆方程得

9a

2

tb

22

1，即a

2

9b

2

22

b t

，∵a b，∴

1 0，∴

22

9b

2

22

b t

b，即

2

9b t

2

2

1 ②，由

①得b 3 t，代入③得

99 6t

6t6t 9

0，解得0 t

32

。

评析 （1）中利用数量积公式，把向量关系巧妙转化为长度关系，进而求出b的值，

得到点P的坐标代入椭圆方程即可，简化了运算。又利用两条直线的交点解出点P的坐标，利用向量的坐标运算求出b的值，有异曲同工之妙。 （2）中利用向量关系得到t,b的方程，借助椭圆中隐含的a b关系建立不等式，非常巧妙。