群论期末考试复习题

一、概念题

1. 群、群的阶、群元素的阶、群的生成元、群的秩

2. 子群、不变子群

3. 阿贝尔群

4. 共轭元素和类

5. 群的同构、同态

6. 固有转动、固有点群、点群

7. 群的恒等表示、真实表示、特征标

8. 群函数、群空间、群的正则表示

9. 等价表示、两个表示等价的充要条件

10. 可约表示、完全可约表示

11. 无限群、连续群、李群

12. 并矢及其运算

13. 极射赤面投影

计算题 、证明题

1． 给出三阶群的乘法表

2．

3．

4． 阿贝尔群的不可约表示都是一维的。 除恒等表示外，有限群任意不可约表示的特征标对群元素求和等于零。 设E是群G的恒源，R和S是群G中的任意元素，R-1和S-1分别是R和S

的逆元，试由群的定义证明：

(1) RR-1 = E

(2) RE = R

(3) 若TR = R, 则 T = E

(4) 若TR = E, 则 T= R-1

(5) (RS)的逆元为S-1R-1

5．

6． 试证明，除恒元外，每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群 试用正交法求出三角形对称群D3的特征标表

7． 证明：两个右陪集SX和SY，要么所含的元完全相同，要么完全没有共同

的元

8． 试证明，陪集不包括属于子群的元，并证明陪集不是群。

1

9． 试证明垂直于某轴的面上的镜像操作的并矢 为

I 2uu

其中，u 是沿该轴的单位矢量

10． 试画出C4、C4v、C4h、S4、D4的极射赤面投影

C4 C4v C4h S4 D4

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