高三数学第一轮复习测试及详细解答(6)——期中考试(2)

7．答案 A：解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15，｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜

＝｜BF｜＋｜BC｜，∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2.故F点的轨迹是以A、

B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b＝48，所以轨迹方程为y－1（y≤－1）.答案：A

8．答案B 由已知得(x 1)2 y2 1，满足题设的点P(x,y)必在圆(x 1)2 y2 1的内

部。点P(x,y)必在圆(x 1)2 y2 3的外部。故选B。 评析 本题初看是一个不等式问题，若利用不等式的

有关概念和性质处理，则不易求解。应利用线性规划的思想 把x2 y2 2x 0视为平面内满足条件的点，利用点在圆的 内、外部解决。

9．答案 D：由题意，得：OA＝OC＋CA=(2+2cos ,2+2sin )所以点A的轨迹是

圆(x 2)2 (y 2)2 2，如图，当A位于使向量OA与圆相切时，向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值，故选D。

评析 本题直接用向量夹角公式求解，运算量大。先确定点A的轨迹是圆，利用向量与圆相切的极限位置定出夹角的范围，无须计算，解法优美。确定直线与圆锥曲线相交的参数范围，这个方法非常有效。

10．答案B：设函数图象与直线y 1的两个交点的坐标分别为x1、x2，且x1 x2，则

x2 x1

2

2

x

2

48

＝

3

x1 ) 1，2sin( x2 ) 1，即sin( x1 ) ，由题意2sin(

12

12

，

sin( x2 ) ，则 x1 ，得 2。

6

① x2

5 6

②，② ①得

(x2 x1)

2 3

评析 本题实质是考查三角函数的周期问题，把交点问题转化为三角方程问题，利用方程的思想求解即可。

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11．答案A：由 1，a1，a2， 4成等差数列，则a2 a1=

( 4) ( 1)

3

= 1，又 1，b1，b2，

则b22=(－1)·(－4)=4，∴b2 2，又 1，故b2 2，b3， 4成等比数列，b2， 4同号，∴

a2 a1

b2

=

12

评析 本题根据等差、等比数列的性质设法求 出a2 a1及b2的值，即可解决问题，但应注意隐含 条件： 1，b2， 4同号，否则易选C。 12．答案 D：由已知得lgx

y2

2006x

2006x

，令y1 lgx，

。作出两个函数的图象，其交点横坐标为

x

x1。同理令y3 10，交y2的横坐标为x2。由对称

性知x2 y1

2006x1

，故x1·x2=2006.

评析 本题主要考查数形结合的数学思想，

及函数图象的对称。首先把已知方程变形为容易做出函数图象的形式，利用对数函数与指数函数的对称性解决问题。 13．答案 36 ：作出可行域，如图。由

6x 5y 60 5x 3y 40

，得B(

17

207

,

607

)，作直线l：4x+3y=t，

当直线经过点B时，z=4x+3y取得最大值，即4x+3y=37

由于x、y必须是整数，故4x+3y取得最大值可能是37。 由

4x 3y 37 6x 5y 60

及

4x 3y 37 5x 3y 40

，得点A1(

52

,9)，A2(3,

253

)

由A1、A2的横坐标知，线段A1A2上没有整点，因此4x+3y取得最大值可能是36， 同上求得A3(0,12)、A4(4,不合题意；当x=2时，y=取得最大值36。

20

3

283

)，所以整点横坐标只能是0、1、2、3，当x=1时，y=，不合题意．所以整点最优解为(0,12)，(4,

203

223

，

)，使z=4x+3y

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评析 在线性规划问题中，常需求整点最优解，而对于整点最优解的寻找，教材中例题一带而过，下面介绍一种简易方法—调整优值法。当使目标函数取得最大值的点不是整点解时，求出经过该点的直线方程l1：Ax+By+C=0（C不是整数），调整直线方程为l2：Ax+By+C1=0，其中C1为最接近C的整数，根据可行域的特点，C1大于或小于C，求出l2与可行域的交点M、N，根据M、N的横坐标确定整点，求得的整点即为整点最优解。

14．答案 24：Tr 1 C (2x)

AB AP=9，由题意4

r2

r

4

4 r

x

r

C 2

r4

4 r

x

4 r

r2

C 2

2

r4

4 r

x

4 r

r2

3，得r 2。∴x的系数为C4 2

34 2

=24。

评析 高考对二项式主要有两个方面的考查：一、通项；二、赋值。本题正确写出二项展开式的通项，然后令x的指数为3，求得r的值，即可求出x3的系数。 15．答案 {x| 1 x

12或12

x 1}：当 1 x 0时，0 x 1，则f(x) x 1，

12

f( x) x 1，f(x) f( x) 1化为 x 1 x 1 1，解得 1 x ，同理

可得

12

x 1。故不等式的解集为{x| 1 x

12

或

12

x 1}。

评析 本题主要考查抽象函数解不等式的问题，关键是正确求出f(x)与f( x)，然后分段求解即可。

16．解析：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=－2的距离相等，

其轨迹是抛物线；若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴.答案：y2=8x（x>0）或y=0（x<0）

17．解 （1）∵不等式xcosC 4xsinC 6 0的解集是空集。∴

2

cosC 0 0

，即

cosC 0 2

s 16sinC 24coC

cosC 0

1

cosC ，即 ，故，∴角C的最1

2C 0 cosC 2或cos

2

大值为60 。

（2）当C=60

时，S ABC

12

absinC

4

，∴ab 6，由余弦定理得

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2222

c a b 2abcosC (a b) 2ab 2abcosC，∴(a b) c 3ab

22

1214

，

∴a b

112

。

评析 解有关三角形的问题，必须熟练掌握正、余弦定理，三角函数以及与三角形面积、周长、内切圆、外接圆等知识，通过理解这些知识掌握各知识点间的关系并能够运用这些知识解决一些实际问题。本题（1）中结合不等式解集情况求出cosC

12

，进而得到

角C的最大值。（2）中熟练运用三角形面积公式及余弦定理，灵活变形，利用方程的思想求解。

18．解 （理）（1）当n 1时，由题意知a1 成立，

假设当n k时，ak 成立，由f'(x) 0，知函数f(x)为增函数，∴f(ak) f( ),又f(ak) ak 1,f( ) ,∴ak 1 ，即当n k 1时，不等式也成立。综上知对任意正整数n，an 恒成立。

（2）令g(x) x f(x)，则g'(x) 1 f'(x)

，由0 f'(x) 1得g'(x) 0，故g(x)

为增函数，当x 时，有g(x) g( ) f( ) 0,∴g(x) 0，即x f(x)，由（1）知an ，∴an f(an) an 1，故an an 1。

评析 本题第（1）问利用数学归纳法证明，思路自然，在证n k 1时，利用导数与函数单调性关系巧妙论证；第（2）问实质是比较an与f(an)的大小，因而构造函数

g(x) x f(x)，判断函数值的正负即可。

（文）（1）当n 2时，an Sn Sn 1， ∴Sn (Sn Sn 1)(Sn

1Sn

1Sn 1

2，即数列{12n 1

2

12

) Sn

2

12

Sn SnSn 1

12

Sn 1，∴Sn 1 Sn 2SnSn 1，∴

1Sn

为等差数列，S1 a1 1，∴

1Sn

1S1

(n 1) 2 2n 1，

∴Sn

，

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