工科物理大作业12-简谐运动(3)

π2) π2)

π2

)m。试求：

(t ) 0.3sin5(t v Asin

2

(t ) 1.5cos5(t a Acos

（1） F0 ma0 1.5mcos(

π2

) 0

π2π2) 0

) 0.3m/s vm

（2） 当t πs时， y1 0.06cos(5π

(π v1 0.3sin5

a1 y1 0 （3）当Ek Ep，有

2

12

ky

2

2

12

12

kA，则

2

当y2

22

A时，动能与势能相等。

（4）由题意画旋转矢量图如图12-18所示，则得

图12-18

附答案

t

π4

π4

π20s

所需要的最短时间为 t

2. 已知某简谐运动的振动曲线如图12-19所示，试求：

（1）简谐运动方程； （2）t

32

s时的相位；

图12-19

（3）12s内振子的位移和路程。 [分析与解答] （1）由曲线知，A = 4 cm

t0 0时，y0 2cm，向y轴正方向运动

则初相位为

4π3

t1 1s时，y1 0，向y轴正方向运动

则此时相位为 1

3π2

43π

32π 12s π6t

4π3)m

而 1 t1 1

则

π6

， T

2π

简谐运动方程为 y 0.04cos(（2）t

32

s时， t

π6 32 4π3 1912

π

（3）由于T 12s，故t 12s时振子回到初始位置y0

故位移 y 0 路程 s 4A 16cm

3. 已知三个同方向、同频率的简谐运动的运动方程分别为： y1 0.04cos(2πt π) m

y2 0.03cos(2πt

π2

) m

y3 0.02cos(2πt 3) m

附答案

试求：(1) (y1 y2)的合振动的振动方程；

(2) 3为多少时，(y1 y3)的合振幅最大？其值为多少？ (3) 3为多少时，(y2 y3)的合振幅最小？其值为多少？

[分析与解答] （1）y1与y2的合振动也是简谐振动，其角频率为 2π

两分振动的相位差为 2 1 则合振动的振幅为 A

2

2

π2

A1 A2 2A1A2cos 0.05m

合振动的初相位为 tan 0

A1sin 1 A2sin 2A1cos 1 A2cos 2

34

由两旋转矢量的合成图（如图12-20）可知，所求的初相位 0应在第二象限，则

0

45π

1

4π5)m

故所求的振动方程为

y 0.05cos(2πt

图12-20

（2） 3 1 2kπ(k 0,1,2 )时，y1与y3的合振动的振幅最大。

则 3 2kπ 1 2kπ π ( 2k 1)π,k 0,1,2

合振动的振幅为 A A1 A3 0.06m

（3） 3 2 (2k 1) (k 0,1,2 )时，y2与y3的合振动的振幅最小。

则 3 2k 1 π 2 2k 1 π

π2

，k 0,1,2

合振动的振幅为 A A2 A3 0.01m

4. 如图12-21所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为I，其上挎有一细绳，绳的一端系有一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无相对滑动，也不计滑轮与轴间的摩擦。现将物体从平衡位置向下拉一微小距离后轻轻释放。

Oy

图12-21

附答案

（1）试证明系统的运动为简谐运动； （2）试求其角频率 和周期T；

[分析与解答]（1）取物体平衡位置O为坐标原点，y轴正方向向下，

有 mg ky0 （1）

dydt

22

当物体移动y，有 mg T1 m

（2）

T1 T2 R

I

IdyRdt

2

2

（3）

T2 ky0 ky （4）

dydt

22

联立式（1）~式（4），求解得

kIR

2

y 0

m

令

2

kIR

2

，则

dydt

2

2

y 0

2

m

表明系统的运动是简谐运动。 （2）系统的角频率为

kIR

2

kR

2

2

m

I mR

系统的周期为 T

2

2π

I mRkR

2

2

四、问答题

简述弹簧振子作简谐运动的特征。

[解答] 运动学特征：y Acos( t )，表明弹簧振子位移随时间t按余弦（或正弦）规律变化。

动力学特征：F ky，表明弹簧振子所受的合外力与位移成正比而反向。 能量特征：Ek

12mv

2

12

m Asin t

222

附答案

Ep

12

ky

2

12

m Acos t

222

表明Ep 、Ek均随时间t作周期变化，且二者相互转化，但总机械能守恒，即

E Ep Ek

12kA

2