【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第02章 基本初等函数、导数

【高考领航】2015人教数学(理)总复习 第02章 基本初等函数、导数及其应用 第5课时Word版含解析

第5课时 指数函数

1．了解指数函数模型的实际背景．

2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．

[对应学生用书P21]

【梳理自测】

一、根式的概念

4

化简16x8y4(x＜0，y＜0)得( )

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A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y

答案：D

◆此题主要考查了以下内容： (1)根式的概念

a，n为奇数 nn ①a＝ （a≥0），n为偶数 |a|＝ －a （a＜0）

②(a)＝a(注意a必须使a有意义)． 二、实数指数幂

1

(教材改编)化简[(－2)]2(－1)0的结果为( )

6

n

n

n

A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案：B

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◆此题主要考查了以下内容： (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是

man

a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；

②正数的负分数指数幂是

ma－a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．

n

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 三、指数函数及图象性质

1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( ) A．a＝1或a＝2 B．a＝1 C．a＝2 D．a＞0且a≠1

2．函数f(x)＝1－2x的定义域是( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

3．(教材改编)函数y＝3x与y＝－3－x的图象的对称图形为( ) A．x轴 B．y轴 C．直线y＝x D．原点

4．函数y＝ax－2 014＋2 014(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．

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答案：1.C 2.A 3.D 4.(2 014，2 015) ◆以上题目主要考查了以下内容：

1．一个关系，一个区别 分数指数幂与根式的关系

根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．

注意区分(a)与an的区别，前者为a，后者要分n的奇偶性． 2．两个防范

(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通

n

n

n

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常对底数a按0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．

(2)换元时注意换元后“新元”的范围．如ax＝t，则t∈(0，＋∞)．

3．三个关键点

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：

(1，a)，，1)，

－1，1

a .

(0

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[对应学生用书P22]

考向一 指数式与根式的化简与计算

化简下列各式．

3 72

(1)()3 ( )0 84 2 (2 3)6－( )3＝________；

263

1

1

2

(2)

a3

b

2

b3a

3

＝________．

【审题视点】 根式化为分数指数幂，分母含有根式的要分母有理化．

22【典例精讲】 (1)原式＝()3 1＋24 24＋(23 32)6－()3

33

1

3

1

111

＝2＋4×27＝110.

(2)

a3

b2

b3a3

＝a

33 212

b

32 1510

a aa.

54

【答案】 (1)110 (2)aa

【类题通法】 指数幂的一般运算步骤：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算，先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数的，先化成假分数，若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的

4

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形式表示，运用指数运算性质．

1．计算下列各式： (1)a a

92

3

a

7

a

1

133

；

301 2 2

(2) (2) 2 (2) (0.01)0.5.

54

解析：(1)原式＝(a a) (a＝(a a) (a

96

12

76

92

3213

73

a)

13312

a)＝a

1

1

136

91713 6266

＝a0＝1.

1411116

(2)原式＝1 ()2 ()2 1 .

4910061015

考向二 指数函数图象及应用

已知f(x)＝|2x－1|， (1)求f(x)的单调区间； (2)比较f(x＋1)与f(x)的大小；

(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x2零点的个数．

【审题视点】 (1)作出f(x)的图象，数形结合求解． (2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x＋1)图象，数形结合求解．

(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与y＝x2的图象，数形结合求解．

【典例精讲】 (1)由f(x)＝|2x－1|＝

x

2－1，x≥0， 可作出函数的图象如图．因此函数x

1－2，x＜0.

f(x)

在(－∞，0)上递减；函数f(x)在(0，＋∞)上递增．

(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x＋1)

的图象，如图

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所示．

由图象知，当|2x0＋1－1|＝

2

|2x0－1|时，解得x0＝log23图象可见，

2

当x＜log2f(x)＞f(x＋1)；

32

当x＝log2f(x)＝f(x＋1)；

32

当x＞log2f(x)＜f(x＋1)．

3

(3)将g(x)＝f(x)－x2的零点转化为函数f(x)与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)＝|2x－1|和y＝x2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点．

【类题通法】 1.与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为

它们各自底数的值，即c1＞d1＞1＞a1＞b1，∴c＞d＞1＞a＞b，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

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2 x （x＜0）

2．(2014·朝阳区期末)函数y＝ x的图象大致是

2－1（x≥0）

(

)

解析：选B.当x＜0时，函数的图象是抛物线，当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.

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