中国科学院大学数值分析(3)

1dx1

近似值稳定至小数后第5位。（精确值I 4 4arctanx 3.1415926...） 001 x2

22、对积分I

1

解：记f(x) 4/(1 x),x [0,1]，编制Tm数表如下：

第一行：T1 [f(0) f(1)]/2 3 第二行：T2 [T1 f(1/2)]/2 3.1 S1 (4T2 T1)/(4 1) 3.13333 第三行：T4 T2/2 [f(1/4) f(3/4)]/4 3.13118

2(k)

S2 (4T4 T2)/(4 1) 3.14157 C1 (16S2 S1)/15 3.14212

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第四行：T8 T4/2 [f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)]/8 3.13899

S4 (4T4 T2)/(4 1) 3.14159 C2 (16S4 S2)/15 3.14159

上面的S4与C2数值已稳定至小数点后5位，故可取I 3.14159。

23、已知勒让德（Legendre）正交多项式pn(x)有三项递推关系式：

p1(x) x p0(x) 1,

2n 1n

pn 1(x) xpn(x) pn 1(x)(n 1,2,) n 1n 1

试确定三点的高斯—勒让德（G—L）求积公式 的求积系数和节点，并利用此公式写出I

1

1

f(x)dx 0f(x0) 1f(x1) 2f(x2)

2

1

。 edx的计算式（无需计算结果）

1

x

解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式p3(x) 点为

1

(5x3 3x).令p3(x) 0，其三个零2

x0

0.7745967,x1 0,x0 0.7745967.

55

则所求的高斯求积公式为

1

1

f(x)dx 0f(

1f(0) 2f 55

2

因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对f(x) 1,x,x均精确成立，

0 1 2 dx 2

1

10 2 xdx 0

11332

0 2 x2dx

1553

1

5

09

8

1

9

5 29

所以三点的高斯－勒让德求积公式为

1x

585f(x)dx f( f(0) f 1

9991

对I

2

1

1

edx，作变换x (t 3)，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即

2

2

I

2

1

11t 3

edx edt.用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有

2 1

1x

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545

I e 0.7745967 3 e3 e0.7745967 3 18918

24、

建立高斯型求积公式

222

1

（参考讲稿与参考书） (x)dx A0f(x0) A1f(x1)。

解：

1

A A 1 0 0

xA xA 0011 0

x2A x2A 0011 3 x0A0 x13A1 0

3x 0 27 32 x1

73 x2 6x 3 0

7352 A 1 05 2 2dx

A 17 1

数值分析第二次作业及答案

1 0

1. 用矩阵的直接三角分解法（LU分解）解方程组

1 0

解：设 1 0 1 0

020 1

l1101 21

243 l31l32

103 l41l42 1 l

211 l31l32 l41l42

10

u

22 1

,1

01 y1 5

y2 3

y3 6 y4 4

2u23u33

0

u24 u34 u44

2u23u3301

0 1020

101 u24 u34 21 u44 2

20 x1 5

x 3 01 2 21 x3 6

2 x4 4

020 x1 5

x 3 101 2 。

243 x3 17

103 x4 7

1l43

1

0由

1 0

2.

1 01 121

l431 01 y1 5 y 3 1 2

21 y3 17

101 y4 7 10

u

22

1

x1 1 x 1 2

x3 2 x4 2

2 2

A 矩阵第一行乘以一数，成为时，cond(A) 有最小值。 11 ,证明当

3

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2

解：A

1

1

A

3 2 2 1

3 1

A 2 1 3

1

A 12

1

2

cond(A) A

A 1

3 6

4 2

2

32

故当 时， mincond(A) 7.23

3

1 1 2 2

10 1

1 ,已知它有解X 1 。如果右3. 设有方程组AX b，其中A 221,b 3 3

022 2 0

3 1 6

，试估计由此引起的解的相对误差。 10

2

11 1

Cond(A) 22.5,解： A 1 2 11.5

21 1

16 10 X

由公式 有 22.5 1.6875 10 5

X 2/3

端有小扰动

b

4. 设A

2.0001 1 7.0003 T

,b ，已知方程组的精确解为。 AX bX (3, 1) 1 2 7

（1） 计算条件数cond (A)；

（2） 若近似解X (2.97, 1.01)，计算剩余r b AX； （3） 进行误差分析，此结果说明了什么？ 解

：

（

1

）

T

1000010000

A 1 ,2000020001

于是

cond (A) A 1

（

A 40001 3.0001 120012.

2

）

7.0003 2.0001 1 2.97 7.0003 6.9503 0.05

r b AX . 1 1.01 7 6.95 0.05 7 2

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（3）依误差公式，右端为 con d(

r

b

0.05

12001

7.0003

192,857.

而左端为

X XX

0.03

0.0 13

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余r很小，误差估计仍然较大，因此，当A为病态时，用r大小作为检验解的准确度是不可靠的。

2x1 x2 x4 1 x x 5x 6 134

5. 对线性代数方程组 设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯－赛德

x 4x x 834 2 x1 3x2 x3 3

尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。

2 101 10 15

解：[A|b]

014 1

13 10

1 19 7 11010

13 103 6 r2 r4

r1 10 r2

014 18 8

3 10 156

因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯－赛德尔迭代法均收敛。

(m 1)1(m)(m)mx (7x x 10x234 10) 1

19

x(m 1) 1(x(m) x(m) 3)

13

23

雅可比迭代格式为： (m 0,1,2,)

x(m 1) 1( x(m) x(m) 8)

24

34 1(m 1)(m) x4 ( x1(m) x3 6) 5 (m 1)1(m)(m)m

x (7x x 10x 10)1234 19

x(m 1) 1(x(m 1) x(m) 3)

13

23

高斯－赛德尔代格式为： (m 0,1,2,)

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