中国科学院大学数值分析(2)

2

14、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求f(x) sin x在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书） 解： 构造正交多项式

(x 0, 0)

0(x) 1 1

( 0, 0)

1

010

xdx

1dx

1 2

12

)dx (x 1, 1)101 1(x) x 1 x 2 112( 1, 1)22

0(x 2)dx

1

x(x

国科大计算机学院课程,王晓老师,数值分析,课后作业汇总,把这个弄懂了考试绝对OK了

2

( 1, 1)

( 0, 0)

1

(x

12

)dx

1 1

12

1dx

12

11 x2 x 126

121

)dx

212

2(x) (x 2) 1(x) 2 0(x) (x )2

于是

( 0, 0) 1dx 1 ( 1, 1)

111

( 2, 2) (x2 x )2dx

06180

1

1

(x

(f, 0)

1

sin xdx

2

111 2 122

(f, 1) (x )sin xdx 0 (f, 2) (x x )sin xdx 300263

1

所以，

f(x) sin x在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为

(x)

(f, 0)(f, 1)(f, 2)

0(x) 1(x) 2(x)

( 0, 0)( 1, 1)( 2, 2)

4.1225x2 4.1225x 0.05047

15、求f(x) e在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre正交多项式）

解 先计算(f,Pk) (f,P0)

1 1

x

(k 0,1,2,3)。

1

2.3504； e

exdx e

1 1

(f,P1)

(f,P2)

1 1

xexdx 2e 1 0.7358；

7 321 x

x edx e 0.1431；

2 e 2

1

(f,P3) 又有

1

1 533 x

x x edx 37 5e 0.02013.；

2 e 2

*

a0 (f,P0)/2 1.1752 ， a1

*

3(f,P1)/2 1.1036

**

7(f,P3)/2 0.07046， a2 5(f,P2)/2 0.3578 ， a3

得

国科大计算机学院课程,王晓老师,数值分析,课后作业汇总,把这个弄懂了考试绝对OK了

*S3(x) 1.1752 1.1036x 0.3578

11

(3x2 1) 0.07046 (5x3 3x)22

0.9963 0.9979x 0.5367x2 0.1761x3

均方误差

n

2

*

ex S3(x)2

0.0084

16、 A、B、C三点连成一条直线，AB长为x1，BC长为x2，某人测量的结果为x1 15.5米，为控制丈量的准确性，又测量AC x1 x2 20.9米，试合理地决定x1和x2的x2 6.1米，

长度。（小数点后取四位有效数字）

解：令x1为AB的所求值，x2为BC的所求值，则x1 15.5 x1 1,x2 6.1 x2 2,

******

x1 x2 20.9 x1 x2 3.故 1 15.5 x1, 2 6.1 x2, 3 20.9 (x1 x2).

****

在最小二乘意义下，要f 1 2 3达到极小，

即求f (x1 15.5) (x2 6.1) (x1 x2 20.9)的极小点。 令

*

2

*

2

*

*

2

222

f*** 2(x 15.5) 2(x x 20.9) 0,112* x1

解的x1 15.2667,

*

f***

2(x 6.1) 2(x x 20.9) 0, 212* x2

*x2 5.8667。故应取x1 15.2667,x2 5.8667。

17、求函数f(x) e在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书）

解：三种方法，见参考讲义。 （1） 截断切比雪夫级数

由富利叶级数系数公式得

x

Ck*

2 cos

ecosk d ， 0

C3* 0.04433685,

它可用数值积分方法计算，得到

C0* 2.53213176,

*

C1* 1.13031821, C2 0.27149534,

国科大计算机学院课程,王晓老师,数值分析,课后作业汇总,把这个弄懂了考试绝对OK了

*nC0*

CkTk(x), 及Tk(x)的公式得到 由 C(x) 2k 1

*

n

*C3(x) 0.994571 0.997308x 0.542991x2 0.177347x3,

*

ex C3(x)

0.00607.

2k 1

8

（2） 拉格朗日插值余项的极小化

由T4(x)的4个零点 xk cos

做插值点可求得

L3(x) 0.994584 0.998967x 0.542900x2 0.175176x3， ex L3(x)

(k 1,2,3,4)

0.00666.

（3） 台劳级数项数的节约

应用e

x

的台劳展开，取n 6，得

P6(x) 1 x

作为e

x

1213141516x x x x x. 2624120720

的近似，其误差为

1 x 1

maxex P6(x)

e

5.3934 10 4， 7!

由于 x6 则

P6(x) M6,4(x) 其中

M6,4(x)

13921155

T6(x) x4 x , x5 T5(x) x3 x, 322163216416

1111

T5(x) T6(x), 1201672032

1.0000434 0.9973958x 0.4996094x2

3

4

0.1770833x 0.043750x. 用M6,4(x)做e

x

的逼近多项式，其误差为

x

maxe

1 x 1

M6,4(x) 0.0005393

11

192023040

若再用x4

11

代入M6,4(x)可求出 T4(x) x2

88

国科大计算机学院课程,王晓老师,数值分析,课后作业汇总,把这个弄懂了考试绝对OK了

M6,3(x) 0.994575 0.997396x 0.542969x2 0.177083x3,

1 x 1

maxex M6,3(x) 0.00651.

18.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书） 略。

19． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。

1）2）3）

h

h2h

f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h); f(x)dx A 1f( h) A0f(0) A1f(h);

2h1

f( 1) 2f(x1) 3f(x2)

; 1

3

hh[f(0) f(h)]4） f(x)dx ah2[f'(0) f'(h)].

02

解：（1）三个参数，代入

f(x)dx

1

A 13h

A 1 A0 A1 2h 4

f(x) 1,x,x2, h(A 1 A1) 0 A0 h

3 2

1 h2(A 1 A1) h3 A 3 13h

hhhh3hh43344

xdx ( h) (h)xdx ( h) (h) h h

3333

hh4hh f(x)dx f( h) f(0) f(h)具有三次代数精度. h333

（2）三个参数，代入

8

A 13h

A 1 A0 A1 4h 4

f(x) 1,x,x2, hA 1 hA1 0 A0 h

3 163 22

8 ( h)A 1 hA1 h A 3 13h

2h8h48h3333

xdx ( h) h 0 (h) 0 2h

333

2h6458h48h4165444

xdx h h( h) h 0 (h) h 2h

53333

2h8h4h8h f(x)dx f( h) f(0) f(h)具有三次代数精度. 2h333

国科大计算机学院课程,王晓老师,数值分析,课后作业汇总,把这个弄懂了考试绝对OK了

1

(3)当f(x) 1时, f(x)dx f( 1) 2f(x1) 3f(x2)].

13

有两个参数,令f(x) x,x2精确成立

1

2x 3x2 1 x1 0.68990 x1 0.28990

1 或 22