中国科学院大学数值分析

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数值分析作业及参考答案

1. 设S

12

gt，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的绝2

对误差增加，而相对误差却减少。 解：

21*1

gt gt2 0.1gt22

e(S)0.1gt0.2

er(S)

22tgtgt22

t ,e(S) ,er(S) .

e(S) S* S

2. 设f(x) C[a,b]且f(a) f(b) 0，求证maxf(x)

a x b

2

1

(b a)2maxf''(x

a x b8

解：由（a,0),(b,0)两点线性插值L1(x) l1(x) 0 l2(x) 0 0. 插值余项为R1(x) f(x) L1(x)

1"

f( )(x a)(x b) [a,b] 2

x [a,b].有

f(x) R1(x)

11

f"( )(x a)(x b) maxf"(x)[(x a)(b x)]22a x b

1(x a) (b x)21 maxf"(x)[] (b a)2maxf"(x).

a x b2a x b28

1

maxf(x) (b a)2maxf"(x)

a x ba x b8

3. 已测得函数y f(x)的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），

（1）用Lagrange插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton插值求二次插

值多项式。

解：(1)Lagrange插值基函数为

l0(x)

(x 1)(x 2)1

(x 1)(x 2)

(0 1)(0 2)2

同理 l1(x)

11

x(x 2),l2(x) x(x 1) 36

2

故

p2(x) yilix( )

i 0

1

x( 25 1

1x) ( )xx ( x)x (

36

1)

x2 3x 1

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（2）令x0 0,x1 1,x2 2，则一阶差商、二阶差商为

f[x0,x1]

1 5

4,

0 ( 1)

f[x1,x2]

5 ( 1)

2

1 2

f[x0,x1,x2]

4 ( 2)

1

0 2

2

P2(x) 1 ( 4)(x 0) 1*(x 0)(x 1) x

3x 1

4. 在 4 x 4上给出f(x) e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使

截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

6

x

x

解：

f(x) ex,

f(k)(x) ex e4,x [ 4,4],考察点x0 h,x0,x0 h及

x x0 th,t 1. 则R2(x)

f(3)( )3!

[(x (x0 h)](x x0)[x (x0 h)]

t(t 1)(t 1)43e4

(t 1)h th (t 1)h eh3!3!e43 . ( 4,4).6(t(t 1)(t 1)在点 4

2

3 10 6 得 h 0.006.

5. 求f(x) x在［a,b］上的分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。

解：

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x xk 12x xk2xk2 xk2 1

Ih(x) xk xk 1 x

xk xk 1xk 1 xkxk xk 1

xk 1 x xk xxk xk 1

2k

2k 1

(xk xk 1)x xkxk 1

Rh(x) f(x) Ih(x) x2 [(xk xk 1)x xkxk 1]

112

(x xk)(x xk 1) xk 1 xk h2

44

6. 已知单调连续函数y f(x)的如下数据

用插值法计算x约为多少时f(x) 1.（小数点后至少保留4位）

解：作辅助函数g(x) f(x) 1,则问题转化为x为多少时，g(x) 0.此时可作新的关于g(xi)的函数表。由f(x)单调连续知g(x)也单调连续，因此可对g(x)的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为

x g 1(y) 0.11 0.097345(y 2.23) 0.451565(y 2.23)(y 1.10) 0.255894(y 2.23)(y 1.10)(y 0.17)故 x g 1(0) 1.321497.

7. 设函数f(x)在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3

的多项式P3(x)，使其满足P3(2) 1 。并写出误差3(0) 0，P3(1) 1，P3'(1) 3,P估计式。

57

解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式P3(x)， p3(x) x3 7x2 x

22

x(x 1)2; 1(x) x(x 2); 1(x) x(x 1)(x 2); 2(x)

2

由题意可设R(x) f(x) p3(x) k(x)x(x 1)2(x 2)

为确定待定函数k(x)，作辅助函数： g(t) f(t) p3(t) k(t)t(t 1)2(t 2) 则g(t)在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点t x,0,1,2(t 1为二

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重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点 (0,3)使g4( ) 0，从而得

k(x)

1(4)

f( )。 4!

1(4)

f( )x(x 1)2(x 2)4!

故误差估计式为R(x)

(0,3)

8. 设函数y f(x)在节点x 0,1,2,3的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的

三次样条插值函数S(x)：

（1）f(0) 1,f(3) 0 （2）f(0) 1,f(3) 0

'

'

''

''

解：（1）取xi处的一阶导数mi作为参数，i 1,2。由于

i

hi11

, i 1 i ,gi 3( if[xi 1,xi] if[xi,xi 1]) 0

hi 1 hi22

以及由三转角方程 imi 1 2mi imi 1 gi,i 1,2

1 1

m 2m m2 01 4m m2 1 202得 由于m0 1,m3 0,从而 1

m1 4m2 0 1m 2m 1m 0

123

22解之可得m1 4/15,m2 1/15

x [0,1] x(x 1)(15 11x)/15,

故 S(x) (x 1)(x 2)(7 3x)/15,x [1,2]

(x 3)2(x 2)/15,x [2,3] （2）取xi处的二阶导数Mi作为参数，i 1,2。由于

i

hi 111

, i 1 i ,di 6f[xi 1,xi,xi 1] 0

hi 1 hi22

以及由三弯矩方程

iMi 1 2Mi iMi 1 di

1 1

M 2M M2 01 202

i 1,2

11 M 2M M 0

123

22

由于M0 1,M3 0,代入方程可得 M1 4/15,M3 1/15,

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x [0,1] x(1 x)(19x 26)/90,

故 S(x) (x 1)(x 2)(5x 12)/90,x [1,2]

(3 x)(x 2)(x 4)/90,x [2,3]

9．编程实现题：

略。

10、试求最佳一次一致逼近多项式，一致被逼近函数为 （1）f(x) sinx,

x [0,] （2）f(x) ex,x [0,1]

2

解：（1）因为f''(x) sinx在[0, /2]内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为

* P1(x) [f(0) f(x1)]/2 a1(x x1/2)

式中 a1

f( /2) f(0)2

0.63661977a1 f'(x1) cosx1 x1 0.88068924

/2 0

*

从而 P1(x) (sinx1)/2 a1(x x1/2) 0.10525683 0.63661977x

（2）f(x) e在[0,1]内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为

x

a1

f(1) f(0)e 1x1

e 得a1 1.71828183,x1 0.54132485

1 01

x1*

从而 P(x) (1 e)/2 a1(x x1/2) 0.89406658 1.71828183x 1

11、给定f(x) x x 1，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求f(x)的三次最佳一致逼近多项式。

4

3

(T2(x) 2x2 1,T3(x) 4x3 3x,T4(x) 8x4 8x2 1)

解：令t 2x 1 f(x) f(

t 1t 14t 13

) () 3() 1. 222

t 1

)的首项系2

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