第三章___三角恒等变换学案(1)(3)

问题3：

如何求函数y sinxx的周期，最大值和最小值呢？（启发学生逆

用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于y Asin x 的标准形式，再进行求解。）

2、随堂练习

1

、求函数y sinxxx 0,数最值的基本思路和要点）

的最大值和最小值？（改变条件，突出求函 3

三角恒等变换

2、求函数y sin2x 2sinxcosx 3cos2x的周期，最大值和最小值？（改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位）

3、知识拓展

22

例1、求函数y asinx bcosxa,b R,a b 0的最值?(引导学生如何引入辅助角。

之后教师进行点评总结。)

例2、求函数y

sinx 1

的最值。

cosx 3

四、反思小结

通过三角变换，我们把形如y asinx bcosx的函数转化为形如y Asin( x )的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

五、自我测评

三角恒等变换

1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin2xcos2x； （2）y 2cos

2

x

1； 2

（3

）y x sin4x。

2、已知f（x）= sin x sin x cosx a(a R)，a为常数。

6 6

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若（fx）在 , 上最大值与最小值之和为，求a值并画出（fx）在 ,

22 22

上的图像。

3

、已知f(x) 2sin(x

)cos(x ) 2(x )

222

（1）化简f(x)的解析式；

（2）若0 ，求 ，使函数f(x)为偶函数；

（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x) 1,x [ , ]的x的集合。

三角恒等变换

课题 3．2 简单的三角恒等变换（第三课时）

一．学习目标

① 熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。 ② 掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生

的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想。

③培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。

二、学习重、难点

1、重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。

2、难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。

三、学习过程

1、学习引导

问题1、求三角函数式在某一区间上的最值的基本思路是什么？

问题2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD3

是扇形的内接矩形，记 COP ，求当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

（给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角α之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评①在求最值时注意自变量的范围；②应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。）

三角恒等变换

2、随堂练习

⑴若问题2中去掉条件“记 COP ”，要求改成“求矩形ABCD的最大面积”还有其它解决方法吗？（教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：①建立数学模型的关键是选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；②自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解。）

⑵已知OPQ是半径为1，圆心角为

的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB//PQ，ABCD3

是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值。

3、知识拓展

例1、2002年8月，在北京召开国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为

1

，求sin θ的值。 25

三角恒等变换

例2、如图所示，在一个矩形建筑物ABCD的部分周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿化带整体构成一个更大的矩形区域AMPN，要求点B在AM边上，点D在AN边上，且对角线MN过C点。已知矩形建筑物的长|AB| = 30m，宽|AD| = 20m，绿化带造价为120元 / m 2。试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？

D

A

四、反思小结

在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。

五、自我测评

1 函数y 2sin(

3

x) cos(

6

x)(x R)的最小值等于（ ）

3 B 2 C 1

2 △ABC中， C 90，则函数y sinA 2sinB的值的情况（ ）

02

有最大值，无最小值 B 无最大值，有最小值

C 有最大值且有最小值 D 无最大值且无最小值

cos2x

3 当0 x 时,函数f(x) 的最小值是（ ） 2

4cosxsinx sinx

4 B

11

C 2 D

42

4 函数y sinx 3cosx在区间 0,

2

5 函数y (acosx bsinx)cosx有最大值2，最小值 1，则实数a ____，b ___

6 已知函数f(x) asinx cosxcosx

2

b(a 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间；