第三章___三角恒等变换学案(1)

三角恒等变换

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

二、编写意图与特色

1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；

2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；

4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时

课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.

二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.

三角恒等变换

三、学习重点与难点

1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）

一、学习目标

(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；

(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；

(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

二、学习重、难点

1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、学习过程

1、学习引导

探究（一）：两角差的余弦公式

思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?

思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？

思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？

思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？

三角恒等变换

思考5：上图中，如何用线段分别表示sinβ和cosβ？

思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？ sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？

思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？

思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？

思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？

思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、

B，则向量OA、OB的坐标分别是什么？其数量积是什么？

思考11：向量OA与OB的夹角θ与α、β有什么关系？根

据量积定义，OA OB等于什么？由此可得什么结论？

思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通

思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？

思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？

思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？

思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？

2、随堂练习

⑴、cos15 ________ ⑵、已知

sin

2 33

, (, ),cos , ( ,),求cos( ) 3242

三角恒等变换

⑶、已知sin 1517， 是第二象限角，求cos（ 3

）的值

3、知识拓展

例1

已知 ， 为锐角，

cos 17，sin（ ） ，求cos 例2 已知cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=

1 3,且 3 2,2

, 求cos(

4

)的值.

四、反思小结

1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.

2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.

3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.

五、自我测评

1、cos79 cos34 sin79 sin34 （ ）

A 12

B 1 C D

2、已知cos

45, (

2, ),则

cos(4

) ( ) A

3、在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80 ，sin80 ），B(cos20 ，sin20 ），则AB A ）

三角恒等变换

4、若sin sin 1

1

,cos cos ,则cos( ) 22

5、若cos cos cos 0,sin sin sin 0,则cos( )

111

6、已知 ， 都是锐角，cos ，cos（ ） ，求cos 的值 …… 此处隐藏：2262字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……