地震波斜入射情形下水平成层半空间自由场的时域计算(2)

ｐｏｉｎｔｓｆｏｒｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ

若假定Ｕ△￡≥△ｚ（该条件在多数情形下是可

Ｃ

３．１

（０，ｊ）为ｚ轴的原点ｚ一０，离散节点（ｉ，Ｊ）的坐标为

墨一ｉ△ｚ、汕＝ｊＡｙ，其自由场位移记为醒，。为内插瞄ｊ１和Ｈ站１引入辅助计算点ｉ。、ｉ－、ｉｔ，其在ｘ轴上的

坐标为ｚ，。一一Ｖｌ△￡＋△ｚ，ｚ，ｌ—Ｖ丑ｆ，ｚ，２—２ｖ４￡

（Ｕ为视波速）。图５示出了离散节点（空心圆）和

辅助计算点（实心圆）的位置。

计算边界节点的ｐ＋１时刻的总位移值；在左侧边界３

角。设在边界区内有限元单元的尺寸为Ａｘ×Ａｙ，

“，（ｔ，ｚ，Ｙ）在离散网格节点上的值记为“ｉ，一Ｕｆ（ｐＡｔ，ｚ。，弘）（ｉ，ｊ—ｏ，１，２，…，声为正整数）。由于

实现的，这是因为在满足稳定性准则出≤堡下，Ａｔ

通常取较大值），由图４可见，边界节点（ｏ，ｊ）在ｐ＋

全部底边界节点的自由场位移可由已知的入射波和

ｌ时刻的位移Ｈ姑１可由Ｈ崭、“骷１和Ｕ…Ｐ＋ｔ内插得到，

第３期李山有，王学良，周正华ｔ地震波斜人射情形下水平成层半空间自由场的时域计算

３７５

即

Ｈ站１一ｄ－Ｈ§：ｊ＋ｄｚＭ拈１＋ｄ。“崩。

（４）

式中ｄ，、ｄ。、ｄ。为插值系数。依据自由场位移以已

知视速度Ｋ沿ｚ轴由左侧边界节点向右传播的特

点，有ＵＰ…＋Ｉ一Ⅳ砖２和“蚶一ｕｏ＂，，，这样，式（４）就变为

Ｈ药１一ｄ１Ｈ学＋ｄ２“站１＋ｄａｕｇ＂

（５）

式中“站１和“咕２均为未知变量。

同理，内节点（２，Ｊ）在（ｐ十１）Ａｔ时刻的位移值

“岵１也可由“咕１、瞄等和酩：？内插得到，结合“崭＝

ＨＳ．，和“＆！？一酷ｊ１，有

Ｈ粘１一ｅｌ“蚪１，１１＋￡２ｕｇ，Ｊ＋岛ＵＯ一，ｊ１。

（６）

式中ｏ、勘、☆为插值系数。

３．２

自由场运动方程

下面依据有限元运动方程来建立畦ｊ１与“岵２问的另一关系式。

为便于说明，我们以ＳＨ波入射情形为例。依据内节点位移计算公式，紧邻左侧边界任一内节点（１，ｊ）在（ｐ－｝－２）Ａｔ时刻的自由场位移可写为

“学一２Ⅱｆ：１一ｎｆｒ等∑∑Ｋ¨。“搿一…ｌ¨ｒ●ｎ

２“站１一“ｆ厂毹［∑Ｋｍ。。“崭＋

∑（Ｋｌｊ，１．Ｈ搿＋ＫＩ），２ｎＨ搿）］。

（７）

式中Ｍｌ，，为集中于节点（１，ｊ）的质量；Ｋ１Ｊ．一为反映

节点（１，ｊ）与相邻节点（ｍ，ｎ）之间弹性恢复力大小

的刚度系数；∑和∑为求和符号，其中

ｍ一０，ｌ，２；

ｎ一｛ｊ－－１一，ｊ。，ｊ，＋Ｎ

“一Ｉ

一１，，

Ｎ，１’’一１：２二”Ｎ’？一１。ｃｓ，净。

¨’

在式（７）的右端中，ｕｆ。Ｈ蛄１是已知的，Ｕ…Ｐ＋１可由公式（６）直接计算出，这样，仅剩下“ｏ”，ｊ１是未知的。将内插公式（５）代人式（７），经整理得

Ａｕｐ＋２—６。

（９）

式中

Ｈ”一（“潸，“搿，…，“ｆ持）１‘；

Ａ一［ｑ。］ｍⅣ；

钆一』静ｌＫ，ｍＨ％式（８）规舢值；

【０，

其它ｎ值５

ｂ一（“，ｂ２，…，ｂＮ）７；

ｂ，一２“瞄叫ｒ筹翠［Ｋｌｊ，ｏｎ（如搿＋

ｄ３Ｈ日，。）＋∑（Ｋｌｊ，ｌｎ“｝封＋Ｋｘ”。Ｈ掰）］。（１０’

因每个方程最多包含３个未知变量（Ｊ＝ｌ，Ｎ时为２

个），故所有紧邻边界内节点的运动方程将构成一个稀疏线性方程组。解此方程组就可得到所有内节点

（１，ｊ）在（ｐ＋２）Ａｔ时刻的自由场位移，进而由插值方程（５）也求得左侧人工边界节点（０，Ｊ）在（ｐ＋１）ｆｌｔ时刻的自由场位移Ｕ…Ｐ＋１。

对于平面内波动人射情形，边界节点（ｐ＋１）△￡

时刻自由场位移的求解思路与上述相同，只是位移

分量变成了矢量。

４

精度分析与实现步骤精度分析

水平成层半空间自由场的水平传播视波速是一

个可以准确确定的参数，由此建立的内插公式也可

视为精确的解析公式。这样，本文提出的自由场运动时域计算方法的精度实际上取决于显式有限元的模拟精度，换句话说，该方法是显式有限元意义上的数值精确解。鉴于显式有限元在有效模拟频段内具有很高精度的特点已被数值试验所证日月［“，且已应实现步骤

在具体实现中，自由场的计算可作为波动散射

问题模拟程序的一部分，所用到的节点坐标及其质量、刚度可直接从总场计算中调用。具体的计算步

骤如下：

（１）给定自由场零初始条件；（２）用内节点位移节点ｐ＋１时刻的位移；（３）利用底边界节点上已知的各时刻入射位移和透射公式（３）计算底边界节点ｐ＋ｌ时刻的位移（同步实现波动能量的输人）；（４）

利用内插公式（６）计算２号列上除底边界节点外的

其它节点Ｐ＋１时刻的位移；（５）求解方程（９）并利

用内插公式（５）计算入射侧边界（０号列）上除底边

界节点外的其它节点ｐ＋１时刻的位移；（６）循环第

２至５步即可得到入射侧边界节点在任一时刻的位移，完成自由场的有限元模拟。

应用该方法进行波动散射问题研究的具体算例

可参阅有关文献“’７’。

５

结语

本文建立了入射侧边界节点自由场波动计算的

４．１

用到高拱坝结构的地震反应分析之中”，所以，与显式有限元具有同等精度的自由场时域计算方法勿需

重复进行验证计算精度的数值试验。

４．２

计算公式（２）计算１号列上除底边界节点外的其它

３７６

吉林大学学报（地球科学版）

［４］Ａｋｉ

Ｋ，ＲｉｅｈａｒｄｓＰ

２００３妊

精确内插公式，并将其与显式有限元的内节点波动计算公式相结合，发展了计算水平成层介质自由场波动的时域数值模拟方法。该方法不仅具有与散射场的数值模拟相匹配、计算量与介质分层情况无关、占用计算机存储空间小的优点，而且为近场波动数值模拟中自由场与散射场的同步计算提供了可能。

本文是在中国地震局工程力学研究所廖振鹏院士的指导下完成的，在此深表感谢。

参考文献：

［１］廖振鹏．近场波动的有限元模拟［Ｊ］．地震工程与工程

振动．１９８４，４（２）：ｌ—１４．

Ｌｉａｏｗａｖｅ

Ｇ．定量地震学．第１卷［Ｍ］．李钦

祖，邹其嘉，等译．北京：地震出版社．１９８７．１３５—１６８

ＡｋｉＫ，ＲｉｃｈａｒｄｓＰ

Ｇ．ＱｕａｎｔｉｔａｔｉｖｃＳｅｉｓｍｏｌｏｇｙ．Ｖｏｌ

１

［Ｍ］Ｂｅｒｉｎｇ：ＣｈｉｎａＳｅｉｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ

１６８．

Ｐｒｅｓｓ，１９８７．１３５一

［５］ＣｈｅｎＨｏｕｑｕｎ，Ｄｕ

Ｘｉｕｌｉ．Ｈ０ｕＳｈｕｎｚａｉ

ｔｏ

Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

ｏｆ

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ａｒｃｈ

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