数学模型第四版课后答案姜启源版(3)

1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．

(1)分别就h rN/4，h rN/4，h rN/4这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．

(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．

解：设时刻t的渔场中鱼的数量为x t ，则由题设条件知：x t 变化规律的数学模型为

dx(t)x

rx(1 ) h dtN

记F(x) rx(1

(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由F x 0，得rx(1

即

x

) h N

x

) h 0 ． N

r2

x rx h 0 1 N

r2

4rh4h

r(r ) ， NN

N

(1)的解为：x1,2

4h

NrN

2

①当h rN/4， 0，(1)无实根，此时无平衡点；

数学与应用数学

②当h rN/4， 0，(1)有两个相等的实根，平衡点为x0

N. 2

xrx2rx

，F'(x0) 0 不能断定其稳定性. ) r

NNN

dxxrN

0． x0不稳定； 但 x x0 及x x0 均有F(x) rx(1 ) 0 ，即dtN4

F'(x) r(1

③当h rN/4， 0时，得到两个平衡点：

N x1

易知：x1

4h

NrN

N

， x2

4hNrN

22

NN''

， x2 ，F(x1) 0 ，F(x2) 0 22

平衡点x1不稳定，平衡点x2稳定.

(2)最大持续产量的数学模型为

maxh

s.t.F(x) 0

x

即 maxh rx(1 )，

N

NrN*

易得 x0 此时 h ， 24N*

但x0 这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．

2

要获得最大持续产量，应使渔场鱼量x

NNN，且尽量接近，但不能等于． 222

'

x t rxln2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：

中r和N的意义与Logistic模型相同．

N

．其x

设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h Ex．讨论渔场鱼量的

*

平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0．

解：x t 变化规律的数学模型为

dx t N

rxln Ex dtx

记 F(x) rxln

N

Ex x

E

N

① 令F x 0，得rxln Ex 0 x0 Ner，x1 0．

x

数学与应用数学

平衡点为x0,x1 . 又 F' x rln

N

r E，F' x0 r 0,F' x1 ． x

平衡点xo是稳定的，而平衡点x1不稳定.

②最大持续产量的数学模型为：

Ex

f x

maxh Ex

N

s.t.　　rxln Ex 0,x 0. x

由前面的结果可得 h ENe

Er

E

E

dhEN rdh Ner e，令 0. dErdE

得最大产量的捕捞强度Em r．从而得到最大持续产量hm rN/e，此时渔场鱼量水平

*

x0

N

． e

dx(t)x

rx(1 ) dtN

其中r为固有增长率,N`为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h.

3．设某渔场鱼量x(t)(时刻t渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：1．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;

*

2．试确定捕捞强度Em,使渔场单位时间内具有最大持续产量Qm,求此时渔场鱼量水平x0. 00

解：1．x(t)变化规律的数学模型为

dx(t)x

rx(1 ) h dtN

xxr2

x rx h 0----（1）记f(x) rx(1 ) h,令 rx(1 ) h 0 ，即

NNN

r2

4rh4h

r(r ) ， （1）的解为：x1,2 NN

N

2

4h

NrN

① 当 0时，（1）无实根，此时无平衡点；