数学模型第四版课后答案姜启源版(2)

max z 20x1 10x2

5x1 4x2 24

st 2x1 5x2 13

x,x 0,x,y Z 12

这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线

l1:5x1 4x2 24

l2:2x1 5x2 13 及x1 0,x2 0组成直线 l:20x1 10x2 c在此凸四边形区域内

平行移动x2 .

l1

l2

l

x1

数学与应用数学

易知：当l过l1与l

2

的交点时，z取最大值

5x1由 2x1

4x2 24

x1

解得

5x2 13 x2

4 1

zmax 20 4 10 1 90.

3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.

解：设安排生产甲型微波炉x件,乙型微波炉y件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：

max S=3x +2y

2x 3y 100

s.t. 4x 2y 120

x 6,y 12,x,y Z

这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解

可行域为：由直线l1：2x+3y=100, l2:4x+2y＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.

直线l：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l过l1与l2的交点时, S取最大值.

由

2x 3y 100

解得

4x 2y 120

数学与应用数学

x 20

.

y 20

Smax＝3 20 2 20＝100.

《数学模型》作业解答

第五章1（2008年11月12日）

1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明： （1）若s0 至s .

（2）若s0

1

,则i(t)先增加，在s

1

处最大，然后减少并趋于零；s(t)单调减少

1

,则i(t)单调减少并趋于零，s(t)单调减少至s .

解：传染病的SIR模型（14）可写成

di

dt i( s 1)

ds si dt

dsds

由 si,知 0. s(t)单调减少. 而s(t) 0. lims(t) s 存在.

t dtdt

故s(t)单调减少至s .

（1）若s0 当

1

. 由s(t)单调减少. s(t) s0.

di

0,i(t)单调增加;

dt

1di

0,i(t)单调减少. 当s 时, s 1 0.

dt

s s0时, s 1 0.

即limi(t) 0. 又由书上(18)式知i 0.

t

1

数学与应用数学

di

0. i(t)达到最大值im.

dt

11di

从而 s-1 0. 0. （2）若s0 ,则s t ,

dt

当s

1

时,

i t 单调减少且limi t 0.即i 0.

t

4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力x0与y0相同.

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.

a

4. b

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.

解:用x t ,y t 表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

dx

dt ay dy

bx, 1 dt

x 0 x,y 0 y

00

0 a

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为A

b0

E A

a

2 ab 0. 1,2 ab b

2 2

， 1 1

2

C2 1 e

1, 2对应的特征向量分别为

x t 2

1 的通解为 C1 y t 1 e

再由初始条件，得

.

数学与应用数学

x x t 0 y0 e

2

dybx . dxay

t

x 0 y0 e 2

t

2

又由 1 可得

22

其解为 ay2 bx2 k, 而k ay0 bx0 3

22

ay0 bx0kb3

(1) 当x t1 0时，y t1 y0 y0.

aaa2

即乙方取胜时的剩余兵力数为

y0. 2

又令x t1 0,由（2）得

x0

y0 e 2

abt1

x

0 y0 e 2

abt1

0.

注意到x0 y0,得e

2abt1

x0 2y02

. e

2y0 x0

abt1

3, t1

ln3

. 4b

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r增援.则

dx

dt ay r dy

bx 4 dt

x(0) x,y 0 y

00

dx ay r

,即bxdx aydy rdy. 相轨线为ay2 2ry bx2 k, dy bx

由 4 得

r r2 222

k ay0 2ry0 bx.0或a y bx k. 此相轨线比书图11中的轨线上移了

a a

2

数学与应用数学

rr b2r2

.乙方取胜的条件为k 0,亦即 y0 x0 2. aa aa

2

第五章2（2008年11月14日）

6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.

解: 设给药速率为f0 t ,中心室药量为x t

,排除速率为常数k,则x/ t kx t f0 t ,x t VC t .

D0D

,解得C t 0e kt. VV

(1)快速静脉注射: 设给药量为D0, 则f0 t 0,C 0

(2)恒速静脉滴注(持续时间为 ): 设滴注速率为k0，则f0 t k0,C 0 0,解得

k0 kt

1 e, 0 t Vk

C t

k0

1 e kte k t ,t Vk

(3) 口服或肌肉注射: f0 t k01D0e

k01t

见5.4节（13）式 ，解得

k01D0 k01t kte e,k k01

Vk01 k C t kD te kt, k k01 V

3种情况下的血药浓度曲线如下：

数学与应用数学

第五章3（2008年11月18日）

8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,

(1) 设M 800mg,l1 80mm,l2 20mm,b 0.02, 0.08, 50mm/s,a 0.3

求Q和Q1/Q2.

(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到l1处的情况下，进入人体毒物量的区别.

解

Q

aw0v

ea/b

l2v

abl1 0.08 200.7 0.02 80 0.3 10 50v5050 1 e 229.857563e1 e(毫克)

0.7 0.02

/

其中w0 M/l1 10 ，

Q1

eQ2

b l2

v

e

0.08 0.02 20

50

0.97628571

数学与应用数学

abl aw0v

(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为Q3 ‘ 1 ev

ab

'

aw0v v2 1 e只吸到l1处就扔掉的情况下的毒物量为Q4 'e ab

bl

a'bl1

v…… 此处隐藏：2328字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……