概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版(4)

1 2

1

，定义ζ=ξη，2

1 2

1

=P(ξ=1)Pζ=1) 41

P(ξ=1,ζ= 1)=P(ξ=1,η= 1)=P(ξ=1)Pζ= 1)

41

P(ξ= 1,ζ=1)=P(ξ= 1,η= 1)=P(ξ= 1)P(ζ=1)

41

P(ξ= 1,ζ= 1)=P(ξ= 1,η=1)=P(ξ= 1)P(ζ= 1)

4

所以ζ,ξ相互独立。同理η与ζ相互独立。

但是P(ξ=1,η=1,ζ=1)≠P(ξ=1)P(η=1)P(ζ=1)，因而ζ,ξ,η不相互独立。

2.23设随机变量ξ与η独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明ξ+η不服从均匀分（即不可能有P(ξ+η=k)=

1

） ,k=2,3, ,12。

11

证明 设P(ξ=k)=pk,P(η=k)=qk,k=1,2, ,6。

若P(ξ+η=k)=

1

,k=2,3, ,12，则 11

1

P(ξ+η=2)=p1q1= (1)

11

1

P(ξ+η=7)=p1q6+p2q5+ +p6q1= (2)

11

1

P(ξ+η=12)=p6q6= (3)

11

将（2）式减去（1）式，得：(p6 p1)q1<0，于是p6<p1。同理q6<q1。因此p6q6<p1q1=

1

，与（3）式矛盾。 11

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0

2.24 已知随机变量ξ的分布列为

1 4

π

212

π

4

2

，求η=ξ+2与ζ=cosξ的分

31

布列。

解 η分布列为P(η=2)=

π112π1

，P(η=2+)=，P(η=2+=； 43234111

ζ的分布列为P(ζ= 1)=，P(ζ=0)=，P(ζ=1)=。

424

2 101

111

6515 5

3 2

11 ，求η=ξ的分 30

2.25 已知离散型随机变量ξ的分布列为 1布列。

17111 , P(η=1)= , P(η=4)= , P(η=9)= 530530

0 013

2.26 设离散型随机变量ξ与η的分布列为ξ： 131 ， η ： 1

3 288 解P(η=0)=

且ξ与η相互独立，求ζ=ξ+η的分布列。

解 1111

6

24 0

1

2

34 11

2412

1 2 ， 3

4

2.27 设独立随机变量ξ与η分别服从二项分布：b(k;n1,p)与b(k;n2,p)，求

ξ+η的分布列。

解 设ξ为n1重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=p），，而ξ与η相η为n2重贝努里试验中事件A发生的次数（在每次试验中P(A)=p）互独立，所以ξ+η为n1+n2重贝努里试验中事件A发生的次数，因而

n1+n2 kn1+n2 kP(ξ+η=k)= pq k

,k=0,1,, ,n1+n2。

2.28 设ξ与η为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(ξ=n)=P(η=n)=求ξ+η的分布列。

解P(ξ+η=n)=∑P(ξ=k)P(η=n k)=∑

k=1n 1

1

,n=1,2, n2

11n 1

=kn kn

22k=12

n 1

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1

2.29 设随机变量ξ具有分布：P(ξ=k)=,k=1,2,3,4,5，求Eξ、Eξ2及

5

E(ξ+2)2。

11

解，Eξ=(1+2+3+4+5)=3，Eξ2=(12+22+32+42+52)=11

55 E(ξ+2)2=Eξ2+4Eξ+4=27 2.30设随机变量ξ具有分布：P(ξ=k)=k1∞ 1

解 Eξ=∑k=∑k

2k=1 2 k=12 Dξ=Eξ2 (Eξ)2=2

2k1

2.31设离散型随机变量ξ的分布列为：P[ξ=( 1)]=k,k=1,2, ，问ξ

k2

k

∞

k 1

2

1

,k=1,2, ，求Eξ及Dξ。 k2

∞

k 1

k21∞2 1

=2，Eξ=∑k=∑k

2k=1 2 k=12

=6

是否有数学期望？

∞∞

2k111

解 ∑|( 1)| k=∑，因为级数∑发散，所以ξ没有数学期望。

k2k=1k=1kk=1k

∞

k

2.32 用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量

以相同的概率为1克、2克、…、10克，现有三组砝码：

（甲组）1，2，2，5，10（克） （乙组）1，2，3，4，10（克） （丙组）1，1，2，5，10（克）

问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？

解 设ξ1、ξ2、ξ3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有

物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ξ1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 ξ2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 ξ3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 1

(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8 101

Eξ2=(1+1+1+1+2+2+2+3+3+1)=1.7

101

Eξ3=(1+1+2+3+1+2+2+3+4+1)=2

10于是 Eξ1=