概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版(3)

(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。

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5

解 (1)从5个人任选2人为O型，共有 2 种可能，在其余3人中任选一人

为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一 5 2

人为AB型，顺此所求概率为： 2 ×3×2×0.46×0.40×0.11×0.13≈0.0168

5 22

(2) ××≈0.1557 0.460.40 3 (3) (1 0.03)5≈0.8587

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k=1,2, ，B表示“击中飞机”。则P(Ak)=0.6，k=1,2, 。

(1) P(A1∪A2)=1 P(A1A2)=1 0.42=0.84 (2) P(A1∪ An)=1 P( Ak)=1 0.4n>0.99 , n>

k=1n

lg0.01

≈5.026 lg0.4

取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。

解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n+m 1次试验中失败了m次”， C表示“第n+m次试验成功”

n+m 1 n 1m

则 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)= m p(1 p) p

n+m 1 nm

= p(1 p) m

1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1≤r≤n）的概率。

解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， ，“第2n r次在乙盒取”， A0BrC表示取C,D分别表示“第2n r次在甲盒取”

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了2n r次火柴，且第2n r次是从甲盒中取的，即在前2n r 1在甲盒中取了

n 1

n r

n 1，其余在乙盒中取。所以 P(A 2n r 1 1

0BrC)= n 1 2

1

2

12

由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为：

2n r 1

P(AC∪A 2n r 1 1

0BrrB0D)=2P(A0BrC)= n 1 2

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？

(1) 135 1

23 0.50.30.2 (2) 0.70.10.1

(3) 012 nn 122 n2

11 1 1 1 2

1 1 (4) 111 22 3 2

3 2 3

2 2 2

解 （1）是

（2）0.7+0.1+0.1≠1，所以它不是随机变量的分布列。

（3）11 1 2

n

+1 + 1 + +1 2 1 3

+ =3,所以它不是随机变量的分布列。2

2 3

2 3

4

（4） nn

1 ∞

2 >0,n为自然数，且∑ 1 =1，所以它是随机变量的分布列。 n=1 2

2.2 设随机变量ξ的分布列为：P(ξ=k)=k

15

,k=1,2,3,4,5，(1)P(ξ=1或ξ=2);

(2P(15

2<ξ<2

)) ； (3) P(1≤ξ≤2)。

解 (1) P(ξ=1或ξ=2)=115+21

15=5

;

(2) P(12<ξ<52)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=1

5

;

(3) P(1≤ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=1

5

.

2.3 解 设随机变量ξ的分布列为2i

P(ξ=i)=C ,i=1,2,3。求C的值。 3

解 2 2 2

C

=

27

+ 3

+ 2 3

，所以C

3 3

=1 38

。 求

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2.4 随机变量ξ只取正整数N，且P(ξ=N)与N2成反比，求ξ的分布列。 解 根据题意知P(ξ=N)=C2

N

π

2

Cπ，其中常数C待定。由于∑2=C =1，所

6NN=1

∞

以C=62，即ξ的分布列为P(ξ=N)=

6

π2N2

，N取正整数。

2.5 一个口袋中装有m个白球、n m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。

解 设“ξ=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则ξ的分布列为：

P(ξ=k)=

m(m 1) (m k+1)(n m)

,k=0,1, ,m.

n(n 1) (n k)

2.6 设某批电子管的合格品率为

31，不合格品率为，现在对该批电子管进44

行测试，设第ξ次为首次测到合格品，求ξ的分布列。

1

解 P(ξ=k)=

4

k 1

3

,k=1,2, . 4

2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。

k 1 2

解 P(ξ=k)= ,k=3,4,5. 5 3

2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设ξ为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求ξ的分布列。

解P(ξ=k)=qk 1p+pk 1q,k=2,3, ，其中q=1 p。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则

P(ξ=k)=0.6k 10.4k 10.4+0.6k0.4k 10.6=0.76 0.24k 1,k=1,2, ； P(η=k)=0.6k0.4k 10.6+0.6k0.4k0.4=0.76 0.6k0.4k 1,k=1,2, 。

2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且P(ξ=1)=P(ξ=2)，求P(ξ=4)。

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解P(ξ=k)=

λk

k!

e(λ>0)k=0,1,2, 。由于λe

λ λ

=

λ22

e λ,得λ1=2,λ2=0

24 22 2

（不合要求）。所以P(ξ=4)=e=e。

4!3

2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问

在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设ξ为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则

P(ξ≤x)≥0.999。查普哇松分布的数值表，得x≥16。

2.12 如果在时间t（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设ξ为时间t内通过交叉路口的汽车数，则

(λt)k λt

P(ξ=k)=e(λ>0),k=0,1,2,

k!

t=1时，P(ξ=0)=e λ=0.2，所以λ=ln5；t=2时，λt=2ln5，因而

P(ξ>1)=1 P(ξ=0) P(ξ=1)=(24 ln25)/25≈0.83。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

1

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个

500

错误的概率为

500 1 499 ∑ k 500 500

k=3

500

k500 k

500 1 499

=1 ∑ k 500 500

k=0

2

k500 k

利用普哇松定理求近似值，取λ=np=500×

15