概率论与数理统计(魏宗舒版)答案完整版(2)

a+ba+b 1a+ba+b 1a+b 2

P({ωi})=

bb 1b (i 2)a

a+ba+b 1a+b (i 2)a+b (i 1)b!a

(a+b)(a+b 1) a

P({ωb+1})=

甲取胜的概率为P({ω1})+P({ω3})+P({ω5})+… 乙取胜的概率为P({ω2})+P({ω4})+P({ω6})+…

1.21 设事件A,B及A∪B的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB)

解 由P(A∪B)=P(A)+P(B) P(AB)得

P(AB)=P(A)+P(B) P(A∪B)=p+q r

P(AB)=P(A AB)=P(A) P(AB)=r q ，P(AB)=r p P(AB)=P(A∪B)=1 P(A∪B)=1 r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)=1 P(A1) P(A2)+P(A1A2);

(2) 1 P(A1) P(A2)≤P(A1A2)≤P(A1∪A2)≤P(A1)+P(A2). 证

明

(1)

P(A1A2)=P(A1∪A2)=1 P(A1∪A2)=1 P(A1) P(A2)+P(A1A2)

(2) 由(1)和P(A1A2)≥0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC) P(BC)≤P(A) 证明 P(A)≥P[A(B∪C)]=P(AB)+P(AC) P(ABC)

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≥P(AB)+P(AC) P(BC)

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。

解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1) P(ABC)=P(A (AB∪AC))=P(A) P(AB∪AC)=30% (2) P(ABC)=P(AB ABC)=7%

(3) P(BAC)=P(B) [P(AB)+P(BC) P(ABC)]=23% P(CAB)=P(C) [P(AC)+P(BC) P(ABC)]=20% P(ABC∪+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5) P(A+B+C)=90%

(6) P(ABC)=1 P(A+B+C)=1 90%=10%

1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

， i=1,2, ,N。要求P( Ai)。 解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”

i=1N

N 1

P(Ai)=

N

N

n

N 2 ，……， N N ，P(AiAj)= P(A1 AN)=

N

n

nn

N

=0

N N 1 1 1 N N 1 ()(1)PA= = ∑i 1 N 1 N i=1

N N 2 2 1 N N 2 ∑P(AiAj)= 2 N =( 1) 2 N ，……

1≤i≤N N i

所以P( Ai)=∑( 1)i 1

N i=1i=1

N

N

nn

n

n

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1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2 anin，当且仅当1,2, ,n的排列(i1i2 in)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

P(Ai)=

N

(n 2)!(n 1)!

(1≤i<j≤n)，…… 1≤i≤n P(AiAj)=

n!n!

n

i 1

n (n i)!ni 11 所以P( Ai)=∑( 1) = (1)∑ i n!i!i=1i=1i=1

1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩

的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则

P(B|A)=

P(AB)6/86

== P(A)7/87

1.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产

m m M m

2 + 1 1 品都是不合格品”，则 P(B)=P(A)=

M 2

m 2 M 2

P(B|A)=

m 1P(AB)P(B)

==

P(A)P(A)2M m 1

(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一

件合格品，一件不合格品”。则

m M m M m

1 2 1 + P(C)=P(D)=

M 2

m M m 1 1

M 2

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P(D|C)=

2mP(CD)P(D)

==

P(C)P(C)M+m 1

1.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k 1(k≤n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k≤n)个人摸到的概率。

解 设Ai表示“第i个人摸到”， i=1,2, ,n。 (1) P(Ak|A1 Ak 1)=

11

=

n (k 1)n k+1

n 1n 211

= nn 1n k+1n

(2) P(Ak)=P(A1 Ak 1Ak)=

1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为

λkk!

而每一个蛋能孵化成小e λ(λ>0)，

(λp)r λp

鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为 e。

r!

解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则

P(B)=∑P(Ak)P(B|Ak)=∑

k=r∞

∞

λke λ k

k=r

rk r

p(1 p) rk!

(λp)r λ∞[λ(1 p)]k r(λp)r λλ(1 p)

=e ee∑=

r!r!()!kr k=r

(λp)r λp

=e

r!

1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手能

4

进入

20

决

20

赛

20

20

”，则

P(B)=∑P(Ak)P(B|Ak)=4×0.9+8×0.7+7×0.5+1×0.2=0.645

k=1

1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任

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取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”

A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”

。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”则由贝叶斯公式：

P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=25 P(A|B)=P(A2)P(B|A2)=28

1233

∑P(A)P(B|A)

k

k

k=1

69

∑P(A

k=1

k

)P(B|Ak)

69

P(A3|B)=

P(A3)P(B|A3)

∑P(A

k=1

3

=

k

)P(B|Ak)

16

6 …… 此处隐藏：3174字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……