北航数理统计考试题

材料学院研究生会

学术部

2011年12月

2007-2008学年第一学期期末试卷

一、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( , 2)的样本，令

T

x x)，

试证明T服从t-分布t（2）

二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明

1F

的 （0< <1）的分位点x 是

1F1 (n,m)

。

三、（8分）设总体X的密度函数为

(1 )x ,0 x 1p(x; )

0 , 其他

其中

1，是位置参数。x1，x2，…，xn是来自总体

X的简单样本，

试求参数 的矩估计和极大似然估计。

四、（12分）设总体X的密度函数为

1 x exp ，x

p(x; ) ，

0 , 其它

其中

, 已知， 0,

是未知参数。x1，x2，…，xn是来自总

体X的简单样本。

（1）试求参数 的一致最小方差无偏估计 ； （2） 是否为 的有效估计？证明你的结论。

五、（6分，A班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( 简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体N( 两样本相互独立，其中 设

H0: 1 2, H1: 1 2,

1

2

2

1

, 1)

2

的

, 2)的简单样本，且

21

, 1, 2, 2

22

是未知参数，

2

2

。为检验假

可令zi xi yi, i 1,2,...,n , 1 2 ,

则上述假设检验问题等价于H0: 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平 下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、（6分，B班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体N( 简单样本， 0已知， 2未知，试求假设检验问题

H0:

2

, )0

2

的

0, H1:

22

0

2

的水平为 的UMPT。

七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？

八、（6分）设方差分析模型为

xij i j ij 2

ij服从正态总体分布N(0, )且 ij相互独立

i 1,2,...,p;j 1,...,q pq 和 满足

i 0, j 0.j

i

i 1j 1

总离差平方和

p

ST SA SB SE中SA q (xi x),x

i 1

x pq

i 1

j 1

1

pq

ij

,

xi

1

q

ij

x q

j 1

,且E(SE)=(p-1)(q-1) .

... P 0的拒绝

2

试求E(SA)，并根据直观分析给出检验假设H0: 1 2域形式。

九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察A B，B C。今选用表L

8

(2)，表头设计及试验数据如表所

7

示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。

十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标X

(x1,x2,x3,x4)

T

的协方差阵V的极大似然估计为

19.94 10.50 6.59 8.63

10.50 23.56 19.71 7.97

V

6.59 19.71 20.95 3.93 8.63 7.97 3.93 7.55

2 16.65， 3 3.38， 4 1.00。 且其特征根为 1 50.46，

（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？ （2）试求第一主成分。

2006级硕士研究生《应用数理统计》试题

一、 选择题（每小题3分，共12分）

1. 统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0<α<1）分位点xα （P{T2≤xα}=α）是（ ）

t(n) 1 2

2

A. B.

t1 (n)

2

C.

t1 (n)

2

D

t(n) 1 2

2

2.设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（ ）

A.

t-分布 B.X2+Y2都服从

2

服从

2

-分布

C. X2和Y2-分布 D. X2/Y2服从F-分布

3.某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D在第（ ）列.A.5 B.2 C.3 D.6

（1）

3 （2）

2 1 （3）

5 6 7 （4）

4 7 6 1 （5）

7 4 5 2 3 （6）

6 5 4 3 2 1 （7）

4.假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=p x(1-p)1-x，其中x=0或1，p为未知参数，X1,X2, ，Xn是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ ）

n

A.

i 1

Xi

1

n

B.

n

i 1

Xi

1

n

C.

n

i 1

Xi 1

1

n

D.

n

i 1

Xi p

二.填空题(每小题3分,共12分)

1. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N(0， )的简单样本,则常数

m

2

c Xi

c=_________

时统计量____________

服从t-分布（1 m n），其自由度为

2. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ， )的简单样本,其中 已知。

2

2

则在满足P{X间类{[

a X b

}=1-a的均值 的置信度为1-α的置信区

X a,X b

]:

a

,b常数}中区间长度最短的置信区间为

（ ）

)的简单样本, 3. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ，

2

已知，则

2

的无偏估计

S

2

1

(Xn 1

k 1

1

n

k

X)

2

，

S

22

1

n

k

(Xn

k 1

)

2

中较优的是

（ ）

4．在双因素实验的方差分析中，总方差ST的分解中包含误差平方和

p

q

r

ijk

S

E

(x

i 1

j 1k 1

xij.)

2

，则SE的自由度为（ ）

1 x e

f(x)

0

x 0x 0

三，（12分）设X1,X2, ，Xn来自指数分布

的简

单样本，试求参数 的极大似然估计 ，它是否是无偏估计？（2）求

样本的Fisher信息量；（3）求 的一致最小方差无偏估计;(4)问 是否

是 的有效估计？

四．（6分，A班不做）在多元线性回归Y

X

中，参数 的最小

1

二乘估计为 (X'X)X'Y

Z

e

1

，残差向量为

e Y Y (I X(X'X)X')Y

。

令

(X'X) 1X'Y

I X(X'X) 1X'Y

,当 ~N(0, I)时，Z

2

服从多元正态分布。

试证明 与e相互独立。

五．（6分，A班不做）

设某切 …… 此处隐藏：2256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……