高中 高考 数学 圆锥曲线 解析几何 精选题(3)

…8分

证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2）， 则

kAP

y1

x1 1

，

kAT

y2

．…………………………………………………………………………4分 x2 1

为

因

kA kP

，所以

y1y

2

x1 1x2 1

，即

y12

x1 1

2

y22

x2 1

2

．……………………………………5分

y12y222

1，x2 1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x 44

2

1

即

y12 4 x12 1

，

y22 4 1 x22 ．…………………………………………………………………6分

所

以

4 x12 1

x1 1

2

4 1 x22

x2 1

2

，即

x1 11 x2

．……………………………………………………7分

x1 1x2 1

所

以

x1 x2 1．…………………………………………………………………………………………

…8分

证

法

3

：

设

点

P(x1,y1)

，直线

AP

的方程为

y

y1

4分 (x ，………………………………………1)

x1 1

联

立

方

程

组

y1 y x 1 , x 1 1

…………………………………………………………………………5分 2

x2 y 1. 4

222222

整理，得 4(x1 1) y1 x 2y1x y1 4(x1 1) 0，

解得

x 1

或

4(x1 1)2 y12

．…………………………………………………………………6分 x 22

4(x1 1) y1

114(x1 1)2 y12

将y 4x 4代入x ，得，即． x x 2

x1x14(x1 1)2 y12

2

1

21

所以

…………………………………………………………………………………………8x1 x2 1．分

（3）解：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi 0，yi 0，i 1,2），

则PA 1 x1, y1 ，PB 1 x1, y1 ．

因

为

PA PB 15

，所以

1

x1 1 x1 2

y1 ，1

即5

x12 y12 16．…………………………9分

y12

1，所以x12 4x12 4 16，即x12 4． 因为点P在双曲线上，则x 4

21

因为点

P

是双曲线在第一象限内的一点，所以

1 x1 2．…………………………………………10分

因为S1 所

111

|AB||y2| |y2|，S2 |OB||y1| |y1|， 222

以

S12

分

14

4

1． x1

S2．……………………………11

2

由（2）知，x1 x2 1，即x2 设t x12，则1 t 4，

S12 S22 5 t

设f t 5 t

4

． t

44 2 t 2 t ，则f t 1 2 ， ttt2

当1 t 2时，f t 0，当2 t 4时，f t 0， 所以函数f t 在 1,2 上单调递增，在 2,4 上单调递减． 因为f 2 1，f 1 f 4 0， 所

以

当

t 4

，即

x1 2

时，

S S

2

1

S22

当

min

f 4 0．……………………………………………12分 t 2

，

即

x1时，

21

S22

max

f 2 1．………………………………………………13分

所以

S12 S22

的取值范围为

0,1 ．……………………………………………………………………14分

222222

说明：由S1 S2 5 x1 4x2 5 4x1x2 1，得S1 S2

max

1，给1分．

20．（本小题满分14分）

x2y2已知椭圆C:2 2 1(a b

0)的离心率为

ab3

点构成的三角形的面积为

. 3

（１）求椭圆C的方程；

（２）已知动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.

1

，求斜率k的值； 2

7

②已知点M( ,0)，求证：MA MB为定值.

3

①若线段AB中点的横坐标为

20．（本小题满分14分）

x2y2c222解：（1）因为2 2 1(a b 0)满足a b c，

……2分

aba5x2y2122

1 ……4分 ，解得a 5,b ，则椭圆方程为 b 2c

3523

3

x2y2

1中得(1 3k2)x2 6k2x 3k2 5 0 ……6分 （2）①将y k(x 1)代入

5

3

6k2

……7分 36k 4(3k 1)(3k 5) 48k 20 0，x1 x2 2

3k 1

4

2

2

2

16k21 ，解得k 因为AB中点的横坐标为 ，所以 2 …………9分

23k

123

6k23k2 5

②由（1）知x1 x2 2，x1x2 2

3k 13k 1

7777

所以MA MB (x1 ,y1)(x2 ,y2) (x1 )(x2 ) y1y2 ……………11

3333

分

77749 (x1 )(x2 ) k2(x1 1)(x2 1) (1 k2)x1x2 ( k2)(x1 x2) k2 …12

3339

分

43k2 576k249 3k4 16k2 549222

(1 k)2 ( k)( 2) k k …142

93k 133k 193k 19

2

分

*20．（本小题满分14分）如图6，已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切，点F关于圆心M的对称点为F'，动点F'的轨迹为C． （1）求曲线C的方程；

（2）设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P、

Q．

① 证明：直线PQ的斜率为定值；

Q两点之间的那一段为L．② 记曲线C位于P、若点B

在L上，且点B到直线PQ的距离最大，求点B的坐标．

20.解：（1）（法1）设F'(x,y)，因为点F(0,1)在圆M上， 且点F关于圆心M的对称点为F'，所以M(且圆M的直径为|FF'|

图

6 1

xy 1

,)…1分 22

x2 (y 1)2．…………2分

由题意，动圆M与y轴相切，

|y 1|

所以

2

x2 (y 1)2

，两边平方整理得：x2 4y，

2

2

所以曲线C的方程为x 4y． ………5分

（法2）因为动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切，所以动圆M在x轴上方，连结FF'，因为点F关于圆心M的对称点为F'，所以FF'为圆M的直径．

图

6 1

过点M作MN x轴，垂足为N，过点F'作F'E x轴，垂足为E（如图6－1）．

在直角梯形EOFF'中，|F'F| 2|MF| 2|MN| |F'E| |FO| |F'E| 1，

即动点F'到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1． ………………………3分

又动点F'位于x轴的上方（包括x轴上），所以动点F'到定点F(0,1)的距离与到定直线

y 1的距离相等．故动点F'的轨迹是以点F(0,1)为焦点，以直线y 1为准线的抛物

线．

所以曲线C的方程为x2 4y． ………………………5分 （2）①（法1）由题意，直线AP的斜率存在且不为零，如图6－2．

设直线AP的斜率为k（k 0），则直线AQ的斜率为 k． ………………6分 因为A(x0,y0)是曲线C：x2 4y上的点， 所以y0

xx

k(x x0)． ，直线AP的方程为y

44

2

2020

x 4y x x0 4k x x0

2或由 ，解之得 2

( x0 4k)2， x0 x0

k(x x0) y y y …… 此处隐藏：2227字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……