高中 高考 数学 圆锥曲线 解析几何 精选题(2)

11

2 2cos ………………10分

22

cos )

)……………………………………11分

4

又因为0

2

，所以

4

+

4

3

…………………………………………………12分

4

sin( )

1 )44

所以四边形OADB

………………………………………13分

当四边形OADB的面积取最大时， 此时D

点坐标为

4

=

2

，即 =

4

，

………………………………………………………………14分 1x2y2

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:2 2 1(a b

0)过点)，且椭圆

2abE的离心率为

． 2

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在以A(0,b)为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若

不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分） 【解析】（1

）由e 又c a b,b

2

2

2

2

2

32c2

得c a， …………1分

4a2

12

a． …………2分 4

2

2

故椭圆方程为x 4y a，

椭圆经过点)，则

12

1

2 4 a2． …………3分

2

所以a2 4,b2 1 …………4分

2

x2

y2 1． …………5分 所以椭圆的标准方程为4

（2）假设存在这样的等腰直角三角形BAC.

明显直线AB的斜率存在，因为A点的坐标为A(0,1)，设直线AB的方程为

AB:y kx 1(k 0)AC:y

，则直线

AC

的方程为

1

x 1． …………6分 k

将AC的方程代入椭圆x2 4y2 4 0得

(1 4k2)x2 8kx 0

所以x 0，或x

8k

2

1 4k

8k2

1 …………7分

所以B点的纵坐标为y 2

1 4k

所以|AB| 8k

．…………82

1 4k

分

同理|AC| 8 …………9分 1 4k2 4

k2

8因为 ABC是等腰直角三角形，所以|AB| |AC|，即

8k8 …………10分

1 4k2k2 4k1

即

1 4k24 k2所以k 4k 1 4k，即k 4k 4k 1 0 …………11分

3

2

3

2

所以(k3 1) 4(k 1) 0 即(k 1)(k2 3k 1) 0

2

所以k 1，或k 3k 1 0 …………12分

所以k

1，或k

3 ． …………13分 2

所以这样的直角三角形有三个． …………14分 19. （本小题满分14分）已知圆M

1：(x2 y2 1和M2：x2 y2 22x 0的

G是动点，且满足圆心分别为M1,M2，P1,P2分别是圆M1,M2上的点，

GM1 GM2 4。

(Ⅰ)求线段PP12的最大值 （Ⅱ） 求点G的轨迹C的方程；

（Ⅲ）设轨迹C与y轴的一个交点为B(0, b)(b 0)，是否存在直线l:y x m，使点B 关于直线l的对称点落在轨迹C上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由。 19.解：（Ⅰ）圆M

1：(x2 y2

1的圆心为M1半径r1 1，

M2：x

2 y2 22x 0的圆心为M2(半径r2；………1分

C1C2 1 r1 r2，两圆相离，………2分 线段PP

12的最大值为d C1C2 r1 r2 1………3分

（Ⅱ）

GM1 GM2 4 M1M2 4分

故G点的轨迹是以M1,M2为焦点的椭圆，其长半轴长a

2，半焦距c

x2y2

1 ---（7分） ∴短半轴长

G的轨迹方程是42

（Ⅱ）设满足条件的直线l存在，由知点B

为(0,，-----（8分）

1

设点B关于直线l的对称点为B(x0,y

0)，则有对称性的性质可得：，--（90

x0

m2

'

分）

解得：

x0 m

，-----（11分）

y0 m

(m)2m2

点B(x0,y

0)在椭圆上， 1，-----（12分）

42

'

整理得3m 2

0，解得m 直线l

的方程为y x20．（本题满分14分）

2

m -----（13分） 3

y x

y xy x在直角坐标系xoy上取两个定点A1( 2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn 3.

（1）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

（2）已知点A(1,t)(t 0)是轨迹M上的定点，E,F是轨迹M上的两个动点，如果直线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE kAF 0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

20．（本题满分14分）

解：（１）依题意知直线A1N1的方程为：y 直线A2N2的方程为：y

m

(x 2)------------------------① 2

n

(x 2)------------------------------------------② 2

mn22

(x 4) 设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得y 4

x2y2

1 由mn 3 整理得43

∵N1,N2不与原点重合 ∴点A1( 2,0),A2(2,0)不在轨迹M上

x2y2 1（x 2） ∴轨迹M的方程为43

31t2

（2）∵点A(1,t)(t 0)在轨迹M上 ∴ 1解得t ，

243

即点A的坐标为(1,)

3

2

设kAE

3x2y2

1并整理得 k，则直线AE方程为：y k(x 1) ，代入

243

3

(3 4k2)x2 4k(3 2k)x 4( k)2 12 0

2

3

设E(xE,yE),F(xF,yF), ∵点A(1,)在轨迹M上，

2

3

4( k)2 123

y kx k-----④ ∴xE ------③, EE2

23 4k

又kAE kAF 0得kAF k，将③、④式中的k代换成 k，可得

3

4( k)2 12

3

y kx k ，xF FF2

23 4k

∴直线EF的斜率KEF

yF yE k(xF xE) 2k

xF xExF xE

8k2 624k,x x ∵xE xF FE22

4k 34k 3

8k2 6 k 2 2k

k(8k2 6) 2k(4k2 3)1∴KEF

24k24k2 3

1

即直线EF的斜率为定值，其值为-

2

x2y22

20、、已知椭圆C：2 2 1(a>b>0)的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，点

2ab

F1、F2分别是椭圆的左、y=kx+m右焦点，在直线x=2上的点P(2, )满足|PF2|=|F1F2|，直线l：

与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足 （O为坐标原点），求实数 的取值范围.

c2 c 1,, x2

解：依题意有 a得 b 1． 方程2 y2 1．… 5分

2 (2c)2 (2 c)2 3. a 2.

y kx m,

（Ⅱ）由 2得(1 2k2)x2 4kmx 2m2 2 0． 2

x 2y 2,

4km

x x ,122 1 2k

设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则 …………7分, 2

2m 2 xx .12 1 2k2

2m

y1 y2 k(x1 x2) 2m ．

1 2k2

（1）当m 0时，点A、B关于原点对称，则 0． （2）当m 0时，点A、B不关于原点对称，则 0，

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