概率在风险决策中的应用(2)

决策树是由决策结点、状态结点、方案分枝和概率分枝组成的。绘制决策树时，首先要用方块表示决策结点；其次，有几种决策方案就从决策结点画出几根分枝；再次，在各方案分枝末梢用圆圈来表示状态结点；最后，由各个状态结点绘出若干概率分枝，每一根概率分枝代表一种自然状态。

决策树绘成后，从左至右对各种方案的期望损益值进行计算。然后比较各个方案的损益值，选出损益值最大的方案，其余方案可记上“不用”的符号，叫做“剪枝”。

在比较综合损益值时，应把实施方案所花的费用扣除，最后可把最优秀的扣除实施费用后的综合损益值记在决策点上。

例1 一集团为生产一种新产品考虑了两种方案，一是扩建厂房、增加一些新的设备，需投资500万；投产后销路好，每年可盈利150万，销路差，每年可获盈利50万；二是对旧厂进行技术改造，需投资200万，销路好，每年可盈利100万，销路差，每年可获盈利40万。若销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4，且两种方案都只考虑投产后五年（生产期）和盈利一个因素，哪个方案好呢？

解 根据题目中的数据，绘成决策树如下图所示：

根据题意可知各方案的损益值为：

扩建方案

5 150 0.6 50 0.4 55 0

改造方案

扩建方案

550 500 50

改造方案

380 200 180

改造方案的综合损益值大于扩建方案，从而成为最佳方案，则把扩建方案枝剪去。

3.2 损益表 损益表，又称利润表，是用来反应公司在一定时期内的利润实现（或发生亏损）的财务报表。损益表可以提供作出合理决策所需的材料，可以用来分析利润的增减、公司的经营成本、作出投资价值评价等。损益表主要用于解决单阶段的决策问题，其优点是直观简洁。

例2 某零件加工厂建成投产，据统计，该零件的销路有三种可能，分别为良好、一般、差，各种可能的概率分别为0.3，0.5，0.2，各种可能都有三种可供选择的行动方案，大批加工（A1），中批加工（A2），小批加工（A3）。对应的损益值见表3-2。如果你是决策者，在这种情况下你会如何选择？

表3-2 损益值表

5 100 0.6 40 0.4 380 各方案的综合损益值：

解 这种问题，决策者可作如下两种考虑：

（1）最大可能准则

着眼点在于产品销路最大可能出现的概率。此题中显然是产品销路“一般”出现的概率最大。选取此销路而不考虑其他两种情况，就将三种自然状态简化为一种自然状态，从而把风险决策简化成确定型决策问题。比较这三种行动方案，显然大批量生产获得的效益值最大，从而选择第一种的方案A1。

显然，最大可能准则在逐个自然状态中某自然状态出现的概率比其他状态出现的概率大时效果越好。如果出现的概率值相差不大，这种方法就较差了，甚至有可能造成严重的失误。

（2）采用期望值为标准的方法

考虑每个月产品生产所获得的平均损益值，即期望值的大小。

E A1 30 0.3 23 0.5 15 0.2 17.5

E A2 25 0.3 20 0.5 0 0.2 17.5

E A3 12 0.3 12 0.5 12 0.2 12

通过对三种期望的比较可知，选择第一和第二种方案均可。但通过仔细分析还可以看出，在一次决策的情况下，第一种方案若碰到销路不好，可能亏损15万元，而第二种碰上销路不好并无亏损。所以在这种情况下，决策者宁愿采取第二种方法。为了表示这种情况，一般采用下界差，即期望与损益值下界之差作为衡量指标，并记作D Aj E Aj minaij

对上例，有

D A2 17.5 0 17.5 D A1 17.5 15 32.5

D A3 12 12 0

因此，在期望值相同的情况下，下界差最小的方案应作为首选，即选择中批加工。 4 概率在不同行业决策中的应用

4.1 投资决策

例3 某投资公司有一笔资金，想投入三个项目商业A、房产B、地产C，收益与市场状态有关，若把市场划分为三个等级：优、良、差，它们发生的概率分别为

，p1 0.2，p2 0.7，p3 0.1。对市场的调研情况，不同等级下的年收益（收益）

如下表所示：

表4-1 各投资年收益表

问如何投资收益最多？

解 各市场状态下收益的数学期望为： E A 11 0.2 3 0.7 3 0.1 4

E B 6 0.2 4 0.7 1 0.1 3.9

E C 10 0.2 2 0.7 2 0.1 3.2

比较数学期望的大小可知，投资商业的平均收益最大，可以选择商业，但投资也要考虑风险，再对它们的方差进行考察：

D A 11 3.7 0.2 3 3.7 0.7 3 3.7 0.1 15.517222

D B 6 3 0.2 4 3 0.7 1 3 0.1 4.1222

D C 10 3.3 0.2 2 3.3 0.7 2 3.3 0.1 12.97222

从方差来看，商业的方差最大，由于方差愈大，收益的波动大，从而风险也大，而房产的方差最小，所以投资商业的风险比投资房产的风险大得多。综合收益与风险，投资房产较好，虽然平均收益少0.1万元，但风险要小的多。

4.2 进货量决策

例4 某超市销售的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的每周进货量在10至30范围内等可能取值。超市每销售一件商品可获利600元，若供过于求，打折处理，每处理一件商品亏损100元；若供不应求，可从外超市调拨，此时一件商品可获利300元。试计算进货量多少时，此超市获利最多？并求出最大利润的期望值。

分析：由于该商品的需求量(销售量)X是一个连续型随机变量，它在区间[10，30]上服从均匀分布，而销售该商品的利润值Y也是随机变量，它是X的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值。因此，本问题的解算过程是，先确定Y与X的函数关系，再求出Y的期望E Y ，最后利用极值方法求出的极大值点及最大值。

解 设每周的进货量为a，则

x a ,x a 600a 300 Y a x ,x a600x 100

则 E Y 10a 500a 25000 2

dE Y 20a 500 da

dE Y 0，即20a 500 0 令 da

a 25

E Y max 10 252 500 25 2500（元） 018750

4.3 人数决策

例5 某工厂有机器50台，每台机器工作是相互独立的，且每台发生故障的概率均为0.02，为了保障机器发生故障而又不能及时维修的概率不大于0.001，那么需要多少名工人维修机器？（设一台机器的故障一人可维修）

解 设需要工人n人，同一时刻发生故障的机器为x台

则由题意知x满足P x n 0.001，又知x服从二项分布，即x~B 50,0.02 由泊松定理知x近似服从泊松分布， np 50 0.02 1

p x n

k n 1 kk! 1k 1 k n 1k!

查泊松分布表得 1 1 0.00059 k!k 6

1 1 0.00367 k 5k!

n 1 6 即n 5

需要5名工人维修即可

5 小结

5.1 小结

对风险决策问题，不管我们做出何种决策，都会面对一定的风险，因而我们要尽量将风险降到最低，作出最佳的决策方案。而此时概率理论知识则成为我们做出决策的重要参考依据。我们不仅要借助各种数据资料，还要灵活运用我们已有的经验，结合概率理论知识，综合分析各种决策方案，比较分析结果，选择一种最有利的方案。

由上面的例题我们也可以看出，概率在风险决策中的地位，但这仅仅是最基本的应用。在运用决策树和损益表解决风险决策问题时，必须找出相应情况下的概率值，综合考虑各种状态，才能作出最合理的决 …… 此处隐藏：2104字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……