高等数学(同济版)上册第五章简明答案(3)

t22

1 2ln2

(14) 02a 解 02a (15) 01te 解 0te (16) 1 解 1

e21

22

12a1

d(3a2 x2) 3a2 x2 023a2 x2

2a0

22

a( 1)

dt dt 0e

1

t2

2

t22

t

d( ) e

2

2

t22

10

1

1 e

dxx lnxdx

1

e2

e2

1 lnx

(17) 02 解

x lnx

dx

2

dlnx 2 lnx

e21

2( 1)

x 2x 2

00dx1

2x2 2x 2 21 (x 1)2dx arctan(x 1)

0 2

arctan1 arctan( 1)

2

(18) cosxcos2xdx

解

cosxcos2xdx (1 2sin2

22

2

x)dsinx (sinx sin3x)

3

2

2 3

(19) 2 解

2 2

cosx cos3xdx

cosx cosxdx 2x cos2xdx

3

2

(20) 0 解 0

cosx( sinx)dx

3

2

xsinxdx cosx

3

0 2

3

2

cosx3

4 3

cos2xdx

cos2xdx 0sinxdx 2cosx

22

2 利用函数的奇偶性计算下列积分

(1) x4sinxdx

解 因为x 4sin x在区间[ ]上是奇函数 所以 x4sinxdx 0

(2) 4cos4 d

解 (3)

4cos4 d

2

4cos4 d 0

8 0(

1 cos2x2

)d 2

31

2 0(1 2cos2x cos22x)d 2 0( 2cos2x cos4x)d

22

1

(3 2sin2x sin4x)

4(arcsinx)2

x

2

3 2

1 2

dx

解

1 2

(arcsinx)2

x2

dx 2

120

10

(arcsinx)2

x2

dx 2 0(arcsinx)2d(arcsinx)

1

2

(arcsinx)33x3sin2xx 2x 1

4

2

3

324

(4) 5

5

dx

2

解 因为函数

a

x3sin2xx 2x 1

a

4

是奇函数 所以 5

5

x3sin2xx 2x 1

4

2

dx 0

3 证明 a (x2)dx 2 0 (x2)dx 其中 (u)为连续函数

证明 因为被积函数 (x2)是x的偶函数 且积分区间[ a a]关于原点对称 所以有

a (x2)dx 2 0 (x2)dx

4 设f(x)在[ b b]上连续 证明 bf(x)dx bf( x)dx

证明 令x t 则dx dt 当x b时t b 当x b时t b 于是 bf(x)dx b

bb

b

b

b

a

a

f( t)( 1)dt bf( t)dt

b

而 bf( t)dt bf( x)dx 所以 bf(x)dx bf( x)dx

b

b

b

5 设f(x)在[a b]上连续 证明 af(x)dx af(a b x)dx

证明 令x a b t 则dx d t 当x a时t b 当x b时t a 于是 af(x)dx b

bb

a

bb

f(a b t)( 1)dt af(a b t)dt

b

b

而 af(a b t)dt af(a b x)dx 所以 af(x)dx af(a b x)dx 6 证明 x2

1 x

t

1

b

b

dx

11

dx1 x

2

(x 0)

x

1

证明 令x 1 则dx 1 当x x时 当x 1时t 1 于是 dtt 2

t

1111dx1

( 2)dt 1dt x1 x2 21t1 t1 t111

而

1

所以 x2

1 x

1 t21dx

dt

11

11

1

1 x2dx

dx

1 x2

7 证明 0xm(1 x)ndx 0xn(1 x)mdx

证明 令1 x t 则 0xm(1 x)ndx 1(1 t)mtndt 0(1 t)mtndt 0xn(1 x)mdx 即 0xm(1 x)ndx 0xn(1 x)mdx 8 证明 0sin 证明 0sin而 2

n sin

n

1

1

1

1

1

11

n

xdx 2 0sinnxdx

2

xdx 02sinnxdx sinnxdx

令x t0nnn2xdx sin( t)( dt) 0sintdt 02sinxdx

2

n

所以 0sinxd x2 0sinxd x

n

9 设f(x)是以l为周期的连续函数 证明 a 证明 已知f(x l) f(x) a

a 1

a 1

f(x)dx的值与a无关

f(x)dx af(x)dx 0f(x)dx l

0la l

f(x)dx 0f(x)dx l

la l

f(x)dx 0f(x)dx

a

而 la lf(x)dx令x t l 0af(t l)dt 0af(x l)dx 0af(x)dx 所以 a因此 a

a 1

a 1

f(x)dx 0f(x)dx

l

f(x)dx的值与a无关

x

10 若f(t)是连续函数且为奇函数 证明 0是连续函数且为偶函数 证明 0 证明 设F(x) 0

x

x

f(t)dt是偶函数 若f(t)

f(t)dt是奇函数

f(t)dt

若f(t)是连续函数且为奇函数 则f( t) f(t) 从而 即F(x) 0

x

xxx令t ux

F( x) 0f(t)dt 0f( u)( 1)du 0f(u)dx 0f(x)dx F(x)

f(t)dt是偶函数

若f(t)是连续函数且为偶函数 则f( t) f(t) 从而 即F(x) 0

11 计算下列定积分 (1) 0xe xdx

11

解 0xe xdx 0xde x xe x

10

1

xxx令t ux

F( x) 0f(t)dtf( u)( 1)du f(u)dx 0 0 0f(x)dx F(x)

x

f(t)dt是奇函数

0e xdx e 1 e x

1

10

1 2e 1

(2) 1xlnxdx

解 1exlnxdx 1 1elnxdx2 1x2lnx

22 (3) 0tsin tdt( 为常数) 解 0 (4)

2

e1

e

1e211212

x dx e x 02x241

(e2 1) 14

e

tsin tdt 2 1

0

1

2

tdcos t

2

1

tcos t

20

cos tdt 0

1

2

2

dx

sin t2

2

2

x

2

sinx