高等数学(同济版)上册第五章简明答案(2)

令x2 ududdu 22

解 (1) tdt tdt

dx0du 0dx

u2 2x 2x x4

x30x3

d1d1d1dt dt dt (2) 2

dxx t4dx x2 t4dx 0 t4x2x3

d1d1dt dt dx0 t4dx 0 t4

1123

(x) (x) 2434

(x) (x)

22x3x 812 x x

cosxsinxcosxddd22

(3) cos( t)dt cos( t)dt cos( t2)dt

dxsinxdx0dx0

cos( sin2x)(sinx) cos( cos2x)(cosx) cosx cos( sin2x) sinx cos( cos2x) cosx cos( sin2x) sinx cos( sin2x) cosx cos( sin2x) sinx cos( sin2x) (sinx cosx)cos( sin2x)

6 计算下列各定积分 (1) (3x2 x 1)dx

0a

解

2312a312

(3x x 1)dx (x x x)| a a a 0 0

22a

(2) (x2 14dx

1x

2

解

1)dx (1x3 1x 3)|2 1(23 2 3) 1(13 1 3) 25 2

(x 1 1

x433338

2

(3) x(1 x)dx

4

9

解

9

4

2 x(1 x)dx (x x)dx (x2 1x2)|9

4324

9

2

3321222 (9 9) 42 142) 451 32326

(4)1dx2 1 x 解 dx2 arctanx1 x arctan arctan1

366

(5) 解

2 2

dx x2

dx arcsinx x2

12 2

2 2

arcsin1 arcsin( 1) ( )

22663

(6) 解

a

dx

a2 x2

dx 1arctanxa2 x2aa

10

1arctan 1arctan0

aa3a

(7) 解

dx

x2

1

dx arcsinx1 arcsin1 arcsin0

2026 x2

42

3x 3x 1 (8) 1x2 1

4203x 3x 11)dx (x3 arctanx)|0 2

(3x 解 1 1 1x2 1x2 1

( 1)3 arctan( 1) 1

4 (9) 解

dx e 11 x

2

dx ln|1 x|| 2 ln1 lne 1

e 1 e 11 x

2

(10) 4tan2 d

解

4

4

tan2 d 4(sec2 1)d (tan )0 tan 1

0444

(11) |sinx|dx

2

解

2

|sinx|dx sinxdx sinxdx

2

cosx0 cosx cos cos0 cos2 cos 4 (12) 解

2

2

x 1 x 1

f(x)dx 其中f(x) 2

x x 1 2

211x3)|2 8 f(x)dx (x 1)dx x2dx (1x2 x)|1 (0

0212613

1

2

7 设k为正整数 试证下列各题 (1) coskxdx 0

(2) sinkxdx 0

(3) cos2kxdx

(4) sin2kxdx

11 证明 (1) coskxdx 1sinkx| sink sink( ) 0 0 0 kkk

(2) sinkxdx 1coskx 1cosk 1cosk( )

kkk

1cosk 1cosk 0

kk

1 (3) coskxdx (1 cos2kx)dx 1(x 1sin2kx)| 2 22k22

2

1 (4) sinkxdx (1 cos2kx)dx 1(x 1sin2kx)| 2 22k22

2

8 设k及l为正整数 且k l 试证下列各题 (1) coskxsinlxdx 0

(2) coskxcoslxdx 0

(3) sinkxsinlxdx 0

1 证明 (1) coskxsinlxdx [sin(k l)x sin(k l)x]dx 2

[

1cos(k l)x] [ 1cos(k l)x] 0

2(k l)2(k l)

1 (2) coskxcoslxdx [cos(k l)x cos(k l)x]dx 2

[

1sin(k l)x] [1sin(k l)x] 0

2(k l)2(k l)

1 (3) sinkxsinlxdx [cos(k l)x cos(k l)x]dx 2

[

1sin(k l)x] [1sin(k l)x] 0

2(k l)2(k l)

9 求下列极限 (1)lim (2)lim

x

cost2dtx

2

x 0

x

(etdt)2

x 0

te

x

2t2

dt

解 (1)lim

x 0xt2

x

cost2dtx

2

2

cosx lim 1 x 01

(2)lim

(edt)

x 0

te

x

2t2

dt

x

lim

t2

2edt (etdt)

t2

2

xx

x 0

xe

2x2

lim

2 edt e

x2

x 0

xe

2x2

2

lim

2 etdt

2

x

x 0

xe

x2

x2e2 2 limx2 lim2

x 0e 2x2exx 01 2x2

x x2 x [0, 1]

10 设f(x) 求 (x) f(t)dt在[0 2]上的表达式

0x x [1, 2]

并讨论 (x)在(0 2)内的连续性

解 当0 x 1时 (x) f(t)dt t2dt 1x3

003

x

x

x1x

当1 x 2时 (x) f(t)dt t2dt tdt 1 1x2 1 1x2 1

00132226

x3 0 x 1 3

因此 (x)

x2 1 x 2 因为 (1) 1 lim (x) lim1x3 1

x 1 0333x 1 0 lim (x) lim(1x2 1) 1 1 1

x 1 0x 1 026263所以 (x)在x 1处连续 从而在(0 2)内连续

x sinx 0 x 11 设f(x) 求 (x) f(t)dt在( )内

0 x 0或x

的表达式 解 当x 0时

(x) f(t)dt 0dt 0

xx

当0 x 时

x

(x) f(t)dt 1sintdt 1cost|0 1cosx 1

002222

x

x

当x 时

x x

(x) f(t)dt 1sintdt 0dt 1cost| 0 002 2

1cos 1cos0 1

220 x 0

因此 (x) (1 cosx) 0 x

1 x

12 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导且f (x) 0

x

F(x) 1 f(t)dt

x aa

证明在(a b)内有F (x) 0

证明 根据积分中值定理 存在 [a x] 使 f(t)dt f( )(x a)

ax

于是有 F (x)

x11f(x) f(t)dt

(x a)2 ax a

1f(x) 12f( )(x a) x a(x a) 1[f(x) f( )] x a

由f (x) 0可知f(x)在[a b]上是单调减少的 而a x 所以f(x) f( ) 0 又在(a b)内 x a 0 所以在(a b)内

F (x) 1[f(x) f( )] 0

x a 习题5 3

1 计算下列定积分

(1)sin(x )dx

2

3

解 sin(x )dx cos(x )

332

1

(2)

2

cos

4 2 11

cos 0 3322

dx

3

11 2

解 2 (11 5x)

(11 5x)35 2

(11 5x)1dx

1 2

1151

16 2 1 2

1010512

(3) 02sin c …… 此处隐藏：2235字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……