高等数学(同济版)上册第五章简明答案

习题5 1

1 利用定积分定义计算由抛物线y=x2 1 两直线x=a、x=b(b a)及横轴所围成的图形的面积

解 第一步 在区间[a b]内插入n 1个分点xi a b ai(i 1 2

n

n 1) 把区间[a b]分成n个长度相等的小区间 各个小区间的长度为

xi

b an

(i 1 2 n)

第二步 在第i个小区间[xi 1 xi] (i 1 2 n)上取右端点

i xi a

b a

i n

ni 1

作和

ni 1

Sn f( i) xi [(a

b a2b a

i) 1] nn

b an22a(b a)(b a)22

[a i i 1] 2

ni 1nn

2(b a)n(n 1)(2n 1)22a(b a)n(n 1)(b a) [na n] 2nn26n

a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) (b a)[a 1]

n6n2

2

第三步 令 max{ x1 x2 xn} b a 取极限得所求面积

n

S af(x)dx lim f( i) xi

0i 12

b

n

a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)

lim(b a)[a 1] 2n n6n

11

(b a)[a2 a(b a) (b a)2 1] (b3 a3) b a

33

2 利用定积分定义计算下列积分 (1) axdx(a<b) (2) 0exdx

解 (1)取分点为xi a b ai(i 1 2 n 1) 则 xi b a(i 1 2

n

n

1b

n) 在第i 个小区间上取右端点 i xi a b ai (i 1 2 n) 于是

n

axdx lim i xi lim (a b ai) b a

n n nn

b

i 1

i 1

nn

(b a)lim[a(b a)

n

2

(b a)2n(n 1)

2n2

1

] (b2 a2) 2

(2)取分点为xi i(i 1 2 n 1) 则 xi 1(i 1 2 n) 在第i

n

n

个小区间上取右端点 i xi i (i 1 2 n) 于是

n

n1x

nedx lime0n i 1

11nn lim(e e en) nn n

1 lim n n

11e[1 (e)n]11 en

lim

1

e[1 e]1

n(1 en

n

e 1

)

3 利用定积分的几何意义 说明下列等式 (1) 02xdx 1

1

(2) 0

1

x2dx

4

(3) sinxdx 0 (4) 2 cosxdx 2 02cosxdx

2

1

解 (1) 02xdx表示由直线y 2x、x轴及直线x 1所围成的面积 显然面积为1 (2) 0

1

x2dx表示由曲线y x2、x轴及y轴所围成的四分之一圆

的面积 即圆x2 y2 1的面积的1

4

1

0

1

x2dx 12

44

(3)由于y sin x为奇函数 在关于原点的对称区间[ ]上与x轴所夹的面积的代数和为零 即 sinxdx 0

(4) 2 cosxdx表示由曲线y cos x与x轴上[ , ]一段所围成的图

22

2

形的面积 因为cos x为偶函数 所以此图形关于y轴对称 因此图形面积的一半为 02cosxdx 即

2cosxdx 22cosxdx 0 2

4 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压力大小)是水深h的函数 且有p 9 8h (kN/m2) 若闸门高H 3m 宽L 2m 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P

解 建立坐标系如图 用分点xi Hi(i 1 2 n 1)将区间[0 H]

n

分为n分个小区间 各小区间的长为 xi H(i 1 2 n)

n

在第i个小区间[xi 1 xi]上 闸门相应部分所受的水压力近似为 Pi 9 8x il x i 闸门所受的水压力为

P lim 9.8xi L xi 9.8Llim

n i 1

n

n(n 1)HH

i 9.8L H2lim 4.8L H2 n i 1nn n2n

n

将L 2 H 3代入上式得P 88 2(千牛) 5 证明定积分性质 (1) akf(x)dx k af(x)dx (2) a1 dx adx b a

lim kf( i) xi klim f( i) xi k af(x)dx 证明 (1) akf(x)dx

0 0

i 1

i 1

b

n

n

b

b

b

b

b

lim 1 xi lim xi lim(b a) b a (2) a1 dx

0 0 0

i 1

i 1

b

nn

6 估计下列各积分的值 (1) 1(x2 1)dx (2)

54(1 sin24

x)dx

4

(3)1xarctanxdx

3

(4) 2ex

2

x

dx

解 (1)因为当1 x 4时 2 x2 1 17 所以 即

2 (4 1) 1(x2 1)dx 17 (4 1) 6 1(x2 1)dx 51

4

4

(2)因为当 x 5 时 1 1 sin2x 2 所以

4

4

即

55 5

1 ( ) 4(1 sin2x)dx 2 ( ) 4444

4

5

24(1 sin

x)dx 2

1, 3]上的最大值

4

(3)先求函数f(x) x arctan x在区间[m

M与最小值

1x

x 时 f (x) 0 所以函数f (x) arctxa 2 因为当

1 x3

arctan x在区间[1, 3]上单调增加 于是

3

m f(1) 1arctan1 M f() arctan

36 f(x) x

因此 即

63

(3

1) 1xarctxadn x

33

(

1)

9

1xarctanxdx

3

2

3

2

3

x

(4)先求函数f(x) ex在区间[0 2]上的最大值M与最小值m

f (x) ex

2

x

(2x 1)

驻点为x 1

2

2

1 11 M e 2 m ef() e 得

2

比较f(0) 1 f(2) e

于是

122

e(2 0) 0ex xdx e2 (2 0)

即

2e

2

10x2 x

edxdx 2e2

7 设f(x)及g(x)在[a b]上连续 证明

(1)若在[a b]上 f(x) 0 且 af(x)dx 0 则在[a b]上f(x) 0 (2)若在[a b]上 f(x) 0 且f(x) 0 则 af(x)dx 0

(3)若在[a b]上 f(x) g(x) 且 af(x)dx ag(x)dx 则在[a b]上f(x) g(x)

证明 (1)假如f(x) 0 则必有f(x) 0 根据f(x)在[a b]上的连续性 在[a b]上存在一点x0 使f(x0) 0 且f(x0)为f(x)在[a b]上的最大值 再由连续性 存在[c d] [a b] 且x0 [c d] 使当x [c d]时

f(x)

f(x0)

2

b

b

b

b

于是

f(x0)

(d c) 0 2

abf(x)dx acf(x)dx cdf(x)dx dbf(x)dx cdf(x)dx

b

这与条件 af(x)dx 0相矛盾 因此在[a b]上f(x) 0

(2)证法一 因为f(x)在[a b]上连续 所以在[a b]上存在一点x0 使f(x0) 0 且f(x0)为f(x)在[a b]上的最大值

再由连续性 存在[c d] [a b] 且x0 [c d] 使当x [c d]时

f(x)

f(x0)

2

于是

f(x)dx f(x)dx

cd

b

a

f(x0)

(d c) 0 2

证法二 因为f(x) 0 所以 af(x)dx 0 假如 af(x)dx 0不成立 则只有 af(x)dx …… 此处隐藏：2760字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……