2011-数学建模--课程设计题目

假期旅游决策问题研究 层次分析法

数 学 模 型

课 程 设 计 报 告

课题名称 假期旅游决策问题研究 姓 名 班级学号 成 绩

2011年12月31日

假期旅游决策问题研究 层次分析法

目录

一、问题重述 二、问题分析 三、模型假设 四、符号说明 五、模型建立与求解 （一）、建立层次结构模型 （二）、构建成对比较矩阵 （三）、 一致性检验 （四）、组合权向量 （五）、 组合一致性检验 六、模型评价与推广 （一）、优点 （二）、局限 （三）、推广 参考文献 附录

假期旅游决策问题研究 层次分析法

假期旅游决策问题研究

摘要：在生活、工作中常常碰到许多决策问题，人们在处理上面这些决策问

题的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但是一个共同的特点是他们通常涉及到经济、社会、人文等方面的的因素。再做比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择（当然要根据客观实际）会起着相当主要的作用，这就给一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。T.L.Saaty等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法，称层次分析法。本文研究的是学生假期旅游决策问题，通过系统的阶梯层次结购，构造两两比较判断矩阵，并进行一致性检验，计算出各个因素的组合权重，从而构造出层次分析法模型。利用MATLAB求解，最后给出合理选择方案。

关键词：旅游决策 层次分析法 权重 矩阵 一致性检验

假期旅游决策问题研究 层次分析法

一、 问题重述

同学们相约去旅游，有人想去新疆，有人想去西藏，还有人想去内蒙。考虑到是学生，费用应占最大的比重，其次是看风景，再者是旅途，至于吃住对年轻人来说不太重要。如果仅从费用、景色、饮食、居住和旅途等方面考虑，请你通过建模计算，给出假期旅游地的合理选择方案。

二、模型假设

1、两个因素故对上一层因素的影响之比用Saaty等人提出的1~9尺度表示 2、根据自身情况决定矩阵中因素的大小

三、符号说明

1、C1,C2, ,C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途 2、P1、P2、P3 分别表示去新疆、西藏、内蒙 3、n: A的阶数 4、 ：A最大特征根

5、w: 的对应归一化特征向量 6、CI：一致性指标 7、RI：随机一致性指标 8、CR：一致性比率

四、问题分析

将决策问题分解为3个层次：最上层为目标层，即选择旅游地；最下层为方案层，有新疆、西藏、内蒙3个旅游地供选择；中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，建立层次结构模型。 通过相互比较各准则对于目标的权重，各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思维过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法。

将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层

假期旅游决策问题研究 层次分析法

对目标层的权重，即各个旅游选择地在某一类准则层的权重。再根据他们的权重确定去某个地方旅游。

五、模型建立与求解

（一）、建立层次结构模型

将决策问题分解为3个层次：最上层为目标层，即选择旅游地；最下层为方案层，有新疆、西藏、内蒙3个旅游地供选择；中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则。各层间的联系用相连的直线表示。

目标层

准则层

方案层

（二）、构建成对比较矩阵

假设要比较n个因素C1,C2, ,Cn对上层一个因素O的影响，如旅游决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性。每次取两个因素Ci和Cj，以aij表示Ci和Cj对O的影响之比，全部比较结果可用成对比较矩阵

A (aij)n n，aij 0，aji

1

（1） aij

表示 。由于（1）式给出aij的特点，A称为正互反矩阵,易见aii 1.

关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。下表列出了1~9标度的含义：

假期旅游决策问题研究 层次分析法

从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。 如用C1,C2, ,C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，考虑到自己是学生，费用占最大的比重，其次是看风景，再者是旅途，至于吃住就不太重要，再依据自身各方面情况，用对比较做法得到的成对比较矩阵

1 2

A 1/5

1/5 1/3

1/255

1993 5

1/9111/3

1/9111/3 1/5331

一般地，如果一个正互反矩阵A满足

aijajk aik， i,j,k 1,2, ,n （2）

则A称为一致性矩阵，简称一致阵。容易证明n阶一致阵A有下列性质

1、A的秩为1，A的惟一非零特征根为n。

2、A的任一列向量都是对应特征根n的特征向量。

如果得到的成对比较矩阵是一致阵，自然应取对应于特征根n的、归一化的特征向量表示诸因素C1,C2, ,Cn对上层因素O的权重，这个向量称为权向量。如果成对比较矩阵A不是一致阵，但在不一致的容许范围，Saaty等建议用对应于A最大特征根（记作 ）的特征向量（归一化后）作为权向量w，即w满足

Aw w （3） 直观地看，因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij，所以当aij离一致性的要求不远时，A的特征根和特征向量也与一致性的相差不大。（3）式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法。 成对比较矩阵A的最大特征值 =5.0510 该特征值的对应归一化特征向量

w (0.277,04.503,03.049,06.049,06.121)T0

假期旅游决策问题研究 层次分析法

（三）、一致性检验

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下 （i）计算一致性指标CI

n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根 n，且当正互反矩阵A非一致时，必有

n。

根据这个定理和 连续地依赖于矩阵的元素aij可知， 比n大得多，A的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用 n数值的大小来衡量A的不一致程度。Saaty将

nCI （4）

n 1

定义为一致性指标。CI 0时A为一致阵；CI越 大A的不一致程度越严重。

n5.0510 5CI ==0.0127

5 1n 1

（ii）查找相应的平均随机一致性指标RI。 为了确定A的不一致程度的容许范围，需要找出衡量A的一致性指标CI的标准。Saaty又引入所谓随即一致性指标RI，计算RI的过程是：对于固定的n，随机地

构造正反矩阵A (它的元素aij（i j）从1~9,1~1/9中随机取值)，然后计算

A 的一致性指标CI。可以想到，A 是非常不一致的，它的CI相当大，如此构造相当多的A ，用它们的CI的平均值作为随即一致性指标。Saaty对于不同的n，

知n=5时, RI=1.12 （ⅲ）计算一致性比率CR

对于n 3的成 …… 此处隐藏：2691字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……