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【数学】广东各地2012年前高考数学联考试题分类汇编(9)圆锥曲线(2)

来源:网络收集 时间:2026-07-04
导读: (2)设P(x0,y0),则FP(x0 c,y0),OF (c,0). OF FP (x0 c,y0) (c,0) (x0 c)c t 1)c2 1 S OFP |OF| |y0| y0 2 x0 …………………………………………………………………………………………8分 |OP| 10分 ∴当且仅当3c 4

(2)设P(x0,y0),则FP(x0 c,y0),OF (c,0).

OF FP (x0 c,y0) (c,0) (x0 c)c t 1)c2 1 S OFP |OF| |y0| y0 2 x0

…………………………………………………………………………………………8分

|OP| 10分

∴当且仅当3c

4,即c 2时,||取最小值26,此时, (23, 23) c

3

(2,23) (0,1) (2,3) 33

或OM (2, 23) (0,1) (2, 1) …………12分 椭圆长轴

2a (2 2)2 (3 0)2 (2 2)2 (3 0)2 8

a 4,b2 12

或2a (2 2)2 ( 1 0)2 (2 2)2 ( 1 0)2 1 a

1 21 ,b

22

x2y2

1.或x2 y2 1 …………14分 故所求椭圆方程为

16129 1 2

2

19. (广东省深圳高级中学2010届高三一模理科)(本题满分

14

广东各地联考试题精选

分)如图,为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中

点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N,且M在D、N之间,设λ,求λ的取值范围.

DM

=DN

19、(本小题满分14分)

解:(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴,O为原点,建立平面直角坐标系, ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222 12 2>|AB|=4. ∴曲线C为以原点为中心,A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=,c=2,b=1.

x22

∴曲线C的方程为+y=1.

5

(2)设直线l的方程为y=kx+2, x22

代入+y=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

5

Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>

DMx13

.由图可知=λ DNx52

20k

x x 122 1 5k由韦达定理得

15 x x

12 1 5k2

将x1=λx2代入得 400k222

(1 )x2 (1 5k2)2

x2 15

2 1 5k2

(1 )2400k280两式相除得 2 15(1 5k)3(5 )

k2

315120

k2 , 0 2 , 5 2 ,即4

53kk 53

8016

133(2 5)k

(1 )216DM1 4 , 0, 解得 3

3DN3

广东各地联考试题精选

x1DM ,M在D、N中间,∴λ<1 x2DN

又∵当k不存在时,显然λ=综合得:1/3 ≤λ<1.

DM1

(此时直线l与y轴重合) DN3

20.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分14分) 已知A、B分别是直线y

33x和y x上的两个动点,线段AB的长为2,33

P是AB的中点.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)过点Q(1,0)任意作直线l(与x轴不垂直),设l与(1)中轨迹C交于M、N两

点,与y轴交于R点.若RM MQ,RN NQ,证明: 为定值.

解:(1)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).

x1 x2

x , 2

∵P是线段AB的中点,∴ ………2分

y y2 y 1. 2

∵A、

B分别是直线y

x和y

x2.

x上的点,∴y1

x1和y2 x1 x2 ,

∴ …………4分

x. y1 y2

22

又AB (x1 x2) (y1 y2) 12. …………5分 x242

y2 1. …………6分 ∴12y x 12,∴动点P的轨迹C的方程为

39

2

(2)依题意,直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y k(x 1).…………7分 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),

y k(x 1),

则M、N两点坐标满足方程组 x2 2

y 1. 9

2222

消去y并整理,得(1 9k)x 18kx 9k 9 0, …………9分

9k2 918k2

∴x3 x4 , ① x3x4 . ② ………10分

1 9k21 9k2

∵ ,∴(x3,y3) (0,y5) (1,0) (x3,y3) . 即

x3 (1 x3),

∴x3 (1 x3).∵l与x轴不垂直,∴x3 1,

y y y.53 3

广东各地联考试题精选

x3x4

,同理 . ………12分 1 x31 x4

(x x) 2x3x4x3x

∴ . 4 34

1 x31 x41 (x3 x4) x3x4

9

将①②代入上式可得 . …………14分

4

说明:本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法,以及运算求解和推理论证能力.

19.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)(本题满分14分)

x2y2

已知椭圆M:2 2 1 (a 0,b 0)的面积为πab,M包含于平面区域

ab |x| 2π

: 内,向平面区域 内随机投一点Q,点Q落在椭圆内的概率为.

4 |y| 3

(Ⅰ)试求椭圆M的方程;

13

(Ⅱ)若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点,点P(1为椭圆M上一点,

22

记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2,试问:k1 k2是否为定值?请证

明你的结论.

|x| 2

解:(Ⅰ)平面区域 : 是一个矩形区域,如图所

|y| 示. ………2分

依题意及几何概型,可得

πab8

π

, 4

…………………………………3分 即 ab 2.

因为 0 a 2,0 b ,

所以, a 2,b 3. ………………………………5分

x2y2

1 ………………6分 所以,椭圆

M的方程为431

(Ⅱ)设直线l的方程为:y x b,

2

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