高等数学李伟版课后习题答案第二章(4)

12

1

4x，y 2x x

32

4x

2

，y 2

32x

2

x

8x

3

．

（3）y

11 x

2

，y

2x(1 x)

2

2

．

（4）y 2cos(1 2x)，y 4sin(1 2x)．

x x

2

（5）y arcsinx 1，

y

x

2

x/ x

2

2

22

(1 x)

arcsinx

x x

2

1 x

2

arcsinx(1 x)

2

3/2

x1 x

2

．

（6）y ex(cosx sinx)，y ex(cosx sinx sinx cosx) 2exsinx． （7）y

xx 3

2

，y

x 3 x/

x 3

2

22

x 3

2

2

3(x 3)

2

3/2

．

（8）y

2x1 x

2

，y

2(1 x) 2x 2x

(1 x)

2

2

2(1 x)(1 x)

122

2

2

．

（9）y

1 x/x

x 1x 1

2

2

1x 1

2

，y [(x 1)

2

]

x(x 1)

2

3/2

．

（10）y shx xchx，y chx chx xshx 2chx xshx．

24

3．设函数f(x) 3 x 2x x，求f (0)及f

(4)

(0)．

(4)

32

解：f (x) 1 4x 4x，f (x) 4 12x，f (x) 24x，f

(x) 24，

f (0) 24x

x 0

0；f

(4)

(0) 24

x 0

24．

4．计算下列各题：

（1）f(x) e

2x 1

，求f

(5)

(x)；

（2）y (x 1)lnx，求

dydx

3

3

；

（3）y lnsinx，求y ．

2x 12x 12x 1

解：（1）f (x) 2e，f (x) 4e，f (x) 8e，

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

f

(4)

(x) 16e

2x 1

，f

(5)

(x) 32e

2x 1

． dydx

33

（2）

dydx

lnx 1 cosxsinx

1x

，

dydx

2

2

1x

1x

2

，

1x

2

2x

3

2 xx

3

．

（3）y cotx，y csc

2

2

x，y 2cscx ( cscxcotx) 2cscx cotx．

5．验证函数y C1e x C2e x（其中C1,C2为任何常数）满足关系式（微分方程） y 2y 0．

证明：因为y C1 e x C2( )e x，y C1 2e x C2( )2e x 2y，所以y 2y 0． 6．验证函数y exsinx满足关系式y 2y 2y 0． 证明：因为y exsinx excosx，

y esinx ecosx ecosx esinx 2ecosx，

x

x

x

x

x

所以y 2y 2y 2excosx 2(exsinx excosx) 2exsinx 0

习题2—4（B）

1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为t 0，在时刻t时物体的位置为s 5cost．求时刻t时物体的速度和加速度． 解：物体的速度v(t)

dsdt

5sint；物体的加速度a(t)

dsdt

2

2

dvdt

5cost．

2．设函数y 4x x

2

4arcsin

x2

，求y ．

x4x x

2

2

解：y

4 2x24x x

2

4

1/4x x/4

,

y

4x x

2

x(2 x)/4x x

2

4x x

2x(4x x)

2

3/2

．

3．设函数y arcsinx，求y

(10)

(0)．

解：由y arcsinx是奇函数，则y (x)是偶函数，y (x)是奇函数，y (x)是偶函数， 以此类推y

(10)

(x)是奇函数，根据初等函数导数的性质，y

(10)

(x)在x 0点有定义，

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

所以y(10)(0) 0．

4．求下列函数的n（n 3）阶导数：

（1）y xex； （2）y x2cosx； （3）y x2lnx；

（4）y anxn an 1xn 1 a1x a0（其中ai(i 1,2, ,n)为常数，an 0）． 解：（1）（方法1）y ex xex ex(x 1)，y ex(x 1) ex ex(x 2)，

y e(x 2) e

x

x

x

e(x 3)，

以此类推y(n) ex(x n)．

n

（方法2）y

(n)

C

k 0(k)

kn

(x)

(k)

(e)

x(n k)

x(e)

x(n)

nx (e)

x(n 1)

x

e(x n)．

n

（2）y

(n)

C

k 02

kn

(x)

2

(cosx)

(n k)

n(n 1)

2

x) x(cos

2

(n)

n(x) (cosx)

2(n 1)

(x) (cosx)

(n)

2(n 2)

xcos(x

2

2

n 2

) 2nx(sinx)

n 2

(k)

(n)

n(n 1)( cosx)

n 2)．

(x n n)cos(x

n

) 2nxsin(x

（3）（方法1）y

2

(n)

C

k 0

k

n

(x)

2

(lnx)

(n k)

x(lnx)

2

(n)

n(x) (lnx)

2(n 1)

n(n 1)

2

(x) (lnx)

2(n 2)

n 3

x ( 1)

n 1n

(n 1)!

x

2( 1)

n 1

2nx( 1)

n 2n 1

(n 2)!

x

n(n 1)( 1)

x

(n 3)!

n 2

(n 3)!

x

n 2

．

（方法2）y 2xlnx x，y 2lnx 3，

2( 1)

n 3

y

(n)

(y )

(n 2)

(2lnx 3)

(n 2)

(n 3)

x

n 2

2( 1)

n 1

(n 3)

x

(n)

n 2

．

（4）y

(n)

an(x)

n(n)

an 1(x

n 1

)

(n)

a1(x)

(n)

(a0)

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

ann! 0 0 0 ann!．

5．若函数f(x)满足f (sinx) cos2x cscx，求f (x)． 解：由f (sinx) cos2x cscx 1 2sin

所以f (x) (1 2x2

1x

) 4x

1x

22

x

1sinx

，有f (x) 1 2x2

1x

，

．

6．若函数y f(x)存在二阶导数，分别求y f2(x)及y f(x2)的二阶导数． 解：对y f2(x)，y 2f(x)f (x)，y [2f(x)f (x)] 2[f (x)]2 2f(x)f (x)；

对y f(x2)，y 2xf (x2)，y [2xf (x2)] 2f (x2) 4x2f (x2)． 7．若函数f(x)有任意阶导数，且f (x) f2(x)，证明f证明：用数学归纳法进行证明， 当n 1时显然成立， 设n k时成立，即f

(k)

(n)

(x) n!f

n 1

(x)．

(x) k!f

k 1

(x)，