高等数学李伟版课后习题答案第二章(2)

34

1 (x

12

)，即4x 4y 5 0．

8．已知曲线y ax2与曲线y lnx相切，求公切线方程．

解：设切点为(x0,y0)，则两曲线在切点处的斜率分别为k1 2ax0，k2 1/x0.

2

ax0 lnx0,1

由两曲线在x x0时相切，有 得lnx0 ，即x0

2 2ax0 1/x0.

e，

此时，a

12e

，y0

12

，公切线斜率为k

1e

，

公切线方程为y

12

1e

(x e)，化简得y

1e

x

12

0.

习题2—2（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；

（2）函数y f(x)在一点x处的微分df(x) f (x) x仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．

答：（1）前者正确，根据微分的定义 y dy o( x) dy；

后者不正确，如对线性函数y ax b，恒有 y dy( a x)．

（2）不正确．因为df(x)

f (x0) x，可见df(x)

x x0x x0

不仅与f (x0)有关，还与自

变量x在该点的增量 x有关．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x点处的微分dy：

（1）y lnx； （2）y （3）y

1x

1x

3

； x（x 0）

（x 0）； （4）y 2x x2．

dxx

3

解：（1）因为y ，所以dy

3

．

x

1

(x h)

2

（2）因为y (x) lim

x h

h

h 0

lim

h 0

x(x h)

x

2

3

1

，

x

2

所以，dy

3

dx

x

2

．

（3）因为y (x) lim

1/x h 1/

h

x

h 0

lim

x

2

x h

h 0

1x

lim

1x

x h

hx xh

h 0

12xx

，

所以，dy

dx2xx

．

（4）因为y (x) lim

[2(x h) (x h)] (2x x)

h

22

h 0

lim(2 2x h) 2(1 x)，

h 0

所以dy 2(1 x)dx．

3．求下列函数在x x0点处的微分dy（1） y cosx，x0

2

x x0

：

1x

； （2）y x

sinx

1x

2

，x0 1．

解：（1）因为y sinx，所以dy

（2）因为y 1 4

．设函数y

1x

2

x /2x /2

dx dx．

，所以dy

x 1

[1

]x 1 dx 0 dx 0．

x0 1， x 0.1时函数的微分dy．

解：因为y lim

x h

h x2x

x 1

x 0.1

x

h 0

lim

1x h

x

h 0

12x

，

所以dy

x 1 x 0.1

0.05．

5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（1）sin30 30 ； （2）.05； （3）ln1.002．

解：（1）取f(x) sinx，x 30 30 61 /360，x0 30 /6，f (x) cosx， 由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得

sin30 30 cos

6

360

12

3720

12

0.0076 0.5000 0.5076．

（2）取f(x)

x，x 1.05，x0 1，f (x) 1/2x，

12

0.05 1 1.025．

由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得.05

（3）取f(x) ln(1 x)，当x 1时，先证明ln(1 x) x， 事实上，取x0 0，则f(x0) f(0) 0f (x0) f (0) lim

ln(1 x) 0

x 0

1，

x 0

由f(x) f (x0)(x x0) f(x0)，得ln(1 x) 1 (x 0) 0 x， 利用ln(1 x) x，得ln1.002 ln(1 0.002) 0.002． 6．讨论下列函数在x 0点的可微性： （1）f(x)

3

x3，x 0，

x； （2）f(x) xx； （3）f(x)

sinx，x 0.

23

解：（1）因为lim

x

2

0

x 0

x 0

lim

1x

x 03

，则f(x)

3

2

x在x 0点不可导，

所以f(x)

2

x在x 0不可微．

（2）因为lim

xx 0x 0

x 0

limx 0，则f(x) xx在x 0点可导，

x 0

所以f(x) xx在x 0点可微．

x 0

3

（3）因为f (0) lim

x 0

x 0

0，f (0) lim

x 0

sinx 0x 0

1，f (0) f (0)，

x3，x 0，

f(x) 得在x 0点不可导，所以在x 0点也不可微．

sinx，x 0

习题2—2（B）

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

1．已知单摆的振动周期T 2

lg

，其中g 980cm/s是重力加速度，l是摆长（单位：

2

cm）．设原摆长为20 cm，为使周期T增加0.05 s，问摆长大约需要增加多少？ 解：

dTdl

l 20

lim

2 l/g 2 l 20

20/g

l 20

2 g

l 20

lim

1l

20

20g

0.02244

由 T T (20) l，得 l

TT (20)

0.050.02244

2.23，

即为使周期T增加0.05 s，摆长大约需要加长2.23 cm．

2．用卡尺测量圆钢的直径D，如果测得D 60.03 mm，且产生的误差可能为0.05 mm，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为A A(D) D2/4，

[ (D h)/4] D/4

h

2

2

A (D) lim

h 0

4

lim(2D h)

h 0

D2

；

A A (D) D D D/2，

当D 60.03， D 0.05时， A 3.1416 60.03 0.04/2 4.715 mm2， 所以绝对误差大约为4.715 mm2；

AA

D D/2 D/4

2

2 DD

2 0.0560.03

0.0017，所以相对误差大约为0.17%．

3．若函数f(x)在x 0点连续，且lim解：由lim

f(x)x

f(x)x

x 0

1，求dy

x 0

．

x 0

1，及分母极限limx 0，得分子极限limf(x) 0；

x 0

x 0

又因为函数f(x)在x 0点连续，所以f(0) limf(x) 0，

x 0

f (0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim

f(x)x

x 0

1，dy

x 0

f (0)dx dx．

ydy

4．设函数f x 在点x0可微，且f (x0) 2，求极限lim解：由已知，有dy 2 x，所以

ydy

dy o( x)

dy

o( x)2 x

．

x 0

x 0

lim lim

x 0

lim[1

x 0

] 1 0 1．

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习题2—3（A）

1．下列叙述是否正确？并根据 …… 此处隐藏：2041字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……