高等数学李伟版课后习题答案第二章(3)

（1）y (2 x)7； （2）y cos(3x 2)； （3）y earctanx； （4）y tan

x；

（5）y arcsine2x； （6）y arccos（7

）y （8）y sin

1x

；

2

x；

（9）y cos2(1 ln2x)； （10

）y ln(x ． 解：（1）y 7(2 x)6(2 x) 7(2 x)6． （2）y sin(3x 2)(3x 2) 3sin(3x 2)．

e

arctanx

2

（3）y e

arctanx

(arctanx)

1 x

．

（4）y sec

2

x( x)

2x

2x

sec

2

x

2 x

(1 x)

sec

2

x

．

2 x

（5）y

(e)

2x

(e)

2

e(2x)

4x

2e

2x4x

．

e

e

（6）y

(1/x) (1/x)

2

xx

2

1x

x 1

2

x 1

2

．

（7）y

(sin

2

x)

2

x

2sinx(sinx) 2 sin

2

2

sinxcosx sin

2

．

2 sinx(x)

2

x

2

（8）y cos x(1 x)

2

2 x

2

cos x

x x

2

cos x

2

．

（9）y 2cos(1 ln2x)[cos(1 ln2x)] 2cos(1 ln2x)sin(1 ln2x)(1 ln2x)

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

sin(2 2ln2x)[0

(2x) 2x

]

sin(2 2ln2x)

x

．

（10）y

(x 2x) x 2x

1x 2x

(1

1x

)

1 2x x

xx

．

5．求下列函数的微分dy：

（1）y x3 3x ln3； （2）y x2sin2x； （3）y ln2(1 x)； （4）y sec2(1 x)； （5）y

x x

2

； （6）y tan(1 2x2)；

（7）y arctan

sin2

x； （8）y 2

2

x

．

解：（1）dy d(x3) d(3x) d(ln3) 3x2dx 3xln3dx 0 dx (3x2 3xln3)dx． （2）dy sin2xd(x2) x2d(sin2x) 2xsin2xdx 2x2cos2xdx 2x(sin2x xcos2x)dx． （3）dy 2ln(1 x)d[ln(1 x)]

2ln(1 x)1 x

d(1 x)

2ln(1 x)1 x

dx．

（4）dy 2sec(1 x)dsec(1 x) 2sec2(1 x)tan(1 x)d(1 x)

2sec(1 x)tan(1 x)dx．

2

（5）因为y

1 1 x

2

x( x/ x)1 x

2

2

1(1 x)

2

23/2

，所以，dy

dx(1 x)

2

23/2

．

（6）因为y sec(1 2x) 4x 4xsec(1 2x)，所以dy 4xsec(1 2x)dx． （7）因为y

11 ( x)

2

2

2222

2x2 x

2

2

x

(2 x)1 x

2

2

，所以dy

xdx(2 x) x

2

2

．

（8）因为y 2 sin

2

x

ln2 ( sin

sin

x) ln2 sin2x 2

x

sin

2

x

，

所以dy ln2 sin2x 2

2

dx．

6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：

（1）d( ) 2dx； （2）d( )

21 x

dx；

（3）d( ) 2sin2xdx； （4）d(

)

x；

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（5）d( ) xdx（n 1）； （6）d( )

n

11 x

2

dx．

解：（1）因为(2x C) 2，所以d(2x C) 2dx． （2）因为(2ln x C) （3）(2sin

2

21 x

，所以d(2ln x C)

2

21 x

dx．

x C) 2sin2x，所以d(2sinx C) 2sin2xdx，

或因为( cos2x C) 2sin2x，所以d( cos2x C) 2sin2xdx．

12x

n

（4）因为(x C) ，所以d(x

C) x．

（5）因为(

x

n 1

n 1

C) x，所以d(

11 x

2

n

x

n 1

n 1

． C) xdx（n 1）

11 x

2

（6）因为(arctanx C) ，所以d(arctanx C) dx．

习题2—3（B）

1．如图所示的A,B,C三个圆柱型零件．当圆柱A转过x圈时，B转过u圈，从而带动C转过y圈．通过计算周长知道y

dydu

1， du

3，求

12

u2

,u 3x，因此

dydx

解：

2dydx

dxdydududx

．

32

3 ．

2．求下列函数的导数：

（1）y xesinx； （2）y lnlnlnx； （3）y ln(x （5）y ln

1 1

x

a x)； （4）y ln(cscx cotx)；

xx

22

； （6）y

x2

a x

22

a

2

2

arcsin

xa

；

（7）y arcsin

1 x1 x

1

； （8）y x2x (2x)x．

xxxx

解：（1）y x esinx x(e) sinx xe(sinx) e(sinx xsinx xcosx)．

（2）y

(lnlnx) lnlnx

(lnx) lnlnx lnx

1

lnlnx lnx x

1x lnx lnlnx

．

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

（3）y

(x x

a x) a x

2

2

22

1 x/x

a xa x

2

2

22

a x

22

．

（4）y

(cscx cotx) cscx cotx

cscxcotx cscx

cscx cotxx)]

12x(1

1/a

2

cscx．

（5）y [ln(1 x)] [ln(1

x)

12x(1

x)

1(1 x)x

．

（6）y

a x2

22

x

2

2

2

a

2

2a x

2

2

(x/a)

2

a x2

2

x

2

2

2

a

2

2

2

a x2

22

a x2

22

a x

22

．

2a x2a x

（7）y

1

11 x1 x

2

11 x1 x

1

(1 x) (1 x)

(1 x)

2

1

(1 x)2x(1 x)

．

ln2xx

（8）因为y x2x (2x)x e2xlnx e

ln2x

，所以

(2lnx 2)x

2x

y e

2xlnx

(2lnx 2) e

x

1 ln2x

x

2

1 ln2x

x

2

1

(2x)x．

3．若函数f(x)可微，求下列函数的导数：

（1）y f(x2)； （2）y f2(x)； （3）y f[f(x)]； （4）y ln[1 e

f(x)

]．

222

解：（1）y f (x)(x) 2xf (x)．