高等数学李伟版课后习题答案第二章

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

习题2—1（A）

1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：

（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数f(x)

(x),x a, (x),x a

在分界点x a处的导数时，一般利用左、右导数的定

义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；

（3） y f(x)在x0点可导的充分必要条件是y f(x)在x0点的左、右导数都存在； （4）函数y f(x)在x0点连续是它在x0点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．

) （2）正确．一般情况下是这样，但是若已知f (x)连续时，也可以用f (x0) f (x0

（即导函数的左极限），f (x0) f (x0)（即导函数的右极限）求左右导数．

（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．

（4）不正确．f(x)在x0点连续仅是f(x)在x0可导的必要条件，而不是充分条件，如

y

3

x、y x都在x 0点连续，但是它们在x 0点都不可导．

2

2．设函数y x x，用导数定义求它在x 1点处的导数.

解：y ( 1) lim

x x 0x 1

2

x 1

limx 1．

x 1

3

．设函数y

x0 1点处的导数．

解：y (1) lim

x 1x 1

x 1

lim

1x 1

x 1

12

．

4．用定义求函数y lnx在任意一点x(x 0)处的导数．

ln(x x) lnx

x

2

解：y lim

x 0

limln[(1

x 0

xx

x11

) x]x lnex

1x

．

5． 对函数f(x) x 2x，分别求出满足下列条件的点x0： （1）f (x0) 0； （2）f (x0) 2．

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解：f (x) lim

[(x h) 2(x h)] (x 2x)

h

22

h 0

lim(2x 2 h) 2x 2，

h 0

（1）由f (x0) 0，有2x0 2 0，得x0 1； （2）由f (x0) 2，有2x0 2 2，得x0 0． 6．已知某物体的运动规律为s

12

gt，求时刻t时物体的运动速度v(t)，及加速度a(t)．

2

2

2

解：速度为v(t) s (t) lim

g(t h)/2 gt

h

g(t h) gt

h

/2

h 0

lim(gt

h 0

h2

) gt，

加速度为a(t) v (t) lim

h 0

limg g．

h 0

7．求曲线y lnx在点(1，0)处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率k y (1)

1x

x 1

1，

切线方程为：y 0 1 (x 1)，即x y 1 0； 法线方程为：y 0

11

(x 1)，即x y 1 0．

8．若函数f(x)可导，求下列极限：

f(x0 x) f(x0)

x

f(x)x

（1）lim； （2）lim

x 0x 0

（其中f(0) 0）；

（3）lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

f(x0 x) f(x0)

x

limf(x)x

； （4）lim

f(1) f(1 sinx)

x

．

h 0x 0

解：（1）lim

x 0

lim

f(x0 x) f(x0)

x

x 0

f (x0)．

（2）lim

f(x) f(0)

x 0

x 0x 0

f (0)．

（3）lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0

lim

f(x0 h) f(x0)

h

h 0

lim

f(x0 h) f(x0)

h

h 0

f (x0) f (x0) 2f (x0)．

（4）lim

f(1) f(1 sinx)

x

x 0

lim

x 0

f(1 sinx) f(1)sinx f (1) 1 f (1)．

sinxx

9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：

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（1）y

3

x，在x 0点；

1

xarctan2，x 0，

（2）f(x) 在x 0点； x

x 0， 0，

x2,

（3）f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点．

解：（1）y

x是初等函数，且在x 0的邻域内有定义，因此y

x在x 0点连续，

因为lim

x 0x 0

x 0

lim

1x

2

x 0 （极限不存在），所以y

3

x在x 0点不可导．

（2）因为lim

xarctan(1/x) 0

x 0

2

x 0

limarctan

x 0

1x

2

2

，

1

xarctan2，x 0，

x 0f(0) 所以f(x) 在点可导，且，从而也连续． x

2 x 0， 0，

（3）因为f(1) limx 1，f(1) limx 1，f(1) 1，有limf(x) f(1)，

x 1

2

x 1

x 1

x2,

所以，f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点连续，

又f (1) lim

x 1

x 1

x 1

1，f (1) lim

x 1

x 1x 1

2

lim (x 1) 2，由f (1) f (1)，

x 1

x2,

所以，f(x)

x,

x 1,x 1,

在x 1点不可导．

ex，x 1，

10．设函数f(x) 求f (1)．

ex，x 1，

解：因为f (1) lim

e e

x

x 1

x 1

elim

x 1

e

x 1

1

x 1

e，f (1) lim

x 1

ex ex 1

e，所以f (1) e．

11．设函数f(x)

cosx，x 0， 2x 1，x 0，

求f (x)．

解：当x 0时，f (x) (cosx) sinx，

当x 0时，f (x) (2x 1) lim

2(x h) 1 (2x 1)

h

lim2 2，

h 0

h 0

天津科技大学李伟版高等数学课后习题答案

当x 0时，由f (0) lim

cosx 1

_

x 0

x 0

0，f (0) lim

x 0

2x 1 1x 0

2，

sinx，x 0，

于是函数在x 0点不可导，所以f(x)

2，x 0.

习题2—1（B）

1．有一非均匀细杆AB长为20 cm，又知AM的质量与从A点到点M 的M为AB上一点，距离平方成正比，当AM为2 cm时质量为8 g，求： (1) AM为2 cm时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M处的密度．

解：设AM x cm，则AM杆的质量为m(x) kx2 g，由AM 2时,m 8，得k 2，

2(x h) 2x

h

m(2)2

2

2

所以，m(x) 2x，m (x) lim

2

h 0

lim(4x 2h) 4x g/cm．

h 0

（1）AM为2 cm时，这段杆的平均线密度为（2）全杆的平均线密度为

m(20)20

80020

82

4 g/cm．

40 g/cm．

（3）点M处的密度为m (x) 4x g/cm．

ex，x 0，

a，bf(x) 2．求的值，使函数 在x 0点可导．

ax b，x 0

解：首先函数f(x)要在x 0点连续．

而f(0) lime 1，f(0) lim(ax b) b，f(0) b，

x 0

x

x 0

由f(0) f(0) f(0)，得b 1，此时f(0) 1．

又f (0) lim

e 1

x

x 0

x