高中数学常用公式及常用结论(8)

nnnnnCmn?Cmn?C...?C?C(mn)!?nmn?2n2nn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则

nmn1n2其分配方法数共有N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、

p!m!.

a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数

p!有N?.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，

b、c、?个相等，则其分配方法数有N? ?nmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?m!n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，

p!则其分配方法数有N?.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mp!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)?n![1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!pm???(?1)pCm(n?p)!???(?1)mCm(n?m)!

1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].

AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的正整数解有Cm?1个. (2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N）的非负整数解有 Cn?m?1个.

(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)

n?1的非负整数解有Cm个. ?1?(n?2)(k?1)??n?1?n?1(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)

n?11n?12n?1n?2n?2n?1的正整数解有Cn?m?1?Cn?2Cm?n?k?2?Cn?2Cm?n?2k?3???(?1)Cn?2Cm?1?(n?2)k个.

?161.二项式定理

0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;

二项展开式的通项公式

rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率

P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn??

170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差

1. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??

172.标准差

222??=D?.

173.方差的性质

(1)D?a??b??a2D?；

(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??174.方差与期望的关系

q. 2pD??E?2??E??.

175.正态分布密度函数

2f?x??1e2?62x?????262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

1e,x????,???. 2?62177.对于N(?,?)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1? f?x???x22?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

nn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy???b?i?1n?i?1n?2. y?a?bx，其中?xi?x?xi2?nx2????i?1i?1??a?y?bx179.相关系数

r???x?x??y?y?iii?1n?(x?x)?(y?y)2iii?1i?1nn ?2??x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限

?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.

?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).

n??bnt?bnt?1???bbtt?10?k?不存在 (k?t)?（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a1（S无穷等比数列a1qn?1? (|q|?1)的和）. 1?q?181. 函数的极限定理

x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,

x?x0x?x0则limf(x)?a.

x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限

1?0，liman?0（|a|?1）；

n??n??n11（2）limx?x0，lim?.

x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；

x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).

x???x?185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)?a，limg(x)?b，则

x?x0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；

x?x0x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b; (3)limx?x0f?x?a??b?0?. g?x?bn??186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则

n??(1)lim?an?bn??a?b；

n??n??(2)lim?an?bn??a?b；