高中数学常用公式及常用结论(7)

152.排列恒等式

mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;

（2）An?mnn?1n（4）nAn?An?A?1n; mmm?1（5）An. ?1?An?mAn(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*

==(n∈N，m?N，且m?n). m1?2???mm！?(n?m)！Amm154.组合数的两个性质

n?m(1)Cn=Cn ; mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1.

0注:规定Cn?1.

155.组合恒等式

n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;

m（1）Cn?m （4）

?Cr?0rrnrn=2;

nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. 012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

mm . An?m！?Cn157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）

1m?1m1m?1?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

m?1mm?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题

常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一

hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.

An（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为

nCm?n.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?nnnnn(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有