2002数学建模A题 车灯线光源的优化设计 参考答案 - 图文(5)

2002年全国大学生数学建模竞赛

（B题）

湖南农业大学

（410128）

队 员

伍俊祥

谭聪权 张新其

指导老师

王志明

完卷日期 2002年9月23日

彩票中的数学模型设计

[摘要] 本文分两个部分。首先我们利用Matlab软件算出了29种

方案的各奖项的中奖概率，并对其进行数据处理，建立了以各项奖金额的平均方差和为评判标准。利用多目标搜索法编程求出其最优化方案，并列出其奖金分配比例。并且我们从该模型可以很明确地看出奖项和奖金额的设置对模型结果的影响比较大；结论是方案6最好。其次，在第一个模型的基础上，我们考虑了更一般的情况，建立了第二个模型。模型二依旧采用模型一的评价标准，只不过模型二考虑到了更改奖项和奖金额的设置、奖项之间的比例分配大小等因素变化对结论的影响。模型二在那些影响彩民吸引力的诸多因素中进行搜索，因此我们通过模型二完全可以找到一个合理的方案来。本文的结论及提出的评判标准，对于彩票发行具有很强的指导性，列出了很多较优方案供有关部门参考。

一 问题重述：

关于彩票抽奖有很多种玩法即方案，例如6+1/10，7/33，6+1/33，7/35等。这些方案基本上都有这样的规则：返回奖金比例一定，一等奖的保底和封顶金额都固定。高项奖按比例分配，低项奖数额固定。问题为1：对这些已有的方案加以分析各种奖项的概率，并从奖项和奖金额的设置对彩民的吸引力等因素出发分析其方案的合理性；2：设计一个更优的方案，并写出其算法；3：写出一篇短文，供彩民在实际操作中参考。

二 基本假设

(1) 假设每人只买一注奖券，若有一人买多注的情况则看成是多个人每人

只买一注的情况。每注金额为2元。若有m个人购买，则卖奖券的总的资金收入为2m，那么各种方案各个奖项的实际中奖人数就为

m?p(k,i)。

(2) 忽略上次滚入的金额数。即每次买奖券的人员中的实际中奖比例就为

各种方案中各种奖项的中奖比例，而且每次抽奖的奖金全部返回给彩民。

(3) 每次卖彩票的总收入的50%至少多于各奖项的保底金额。 (4) 每次中一等奖的保底金额为60万元，封顶金额为500万元。并且得高

级别的奖不再兼得低级别的奖。

三 符号说明

moneyi 中i等奖的每个人所能够得到的奖金金额

m 买彩票的总人数

coun t 通过低项奖返回给彩民的金额 p(k,i) 第k种方案中第i等奖的概率

a(k,i) 第k种方案中第i等奖占高项奖总奖金的百分比(1?i?3)或

低项奖的单注保底金额(4?i?7)。

n lowe_rporti o表示在高项奖中一等奖奖金达到保底时所需分配的最

小比例矩阵。

_porti o n top 表示在高项奖中一等奖奖金达到封顶时所需分配的最大

比例矩阵。

四 数据预处理

我们首先用Matlab软件编程（程序见附录的程序一）求出了题目给出的29

种方案中各奖项的中奖概率如下表（表一）：（在Matlab软件程序里我们把该表记为 矩阵p）

序一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 号 1 2e-7 8e-7 1.5e-5 2.61e-4 3.4e-3 3.73e-2 0