空间夹角和距离(5)

Ｄ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影， 所以且

就是

与平面

所成的角，

所求角为

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离. 因为在Rt△PAD中，O点到平面ABM的距离等于

方法二： （1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则

，

，

，

，

，

，

，。

，所以

为

中点，

，则

设平面的一个法向量，由可得：，令

，则，即.设所求角为，则，

所求角的大小为.

（3）设所求距离为，由，得：

15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

在四棱锥平面

，

中，底面，

是矩形，. 以

的中点

为球心、为直径的球面交

⊥平面

于点；

，交于点.

（1）求证：平面（2）求直线（3）求点解：

与平面到平面

所成的角的大小； 的距离.

方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。 又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD， 所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD， 所以平面ABM⊥平面PCD。 （2）由（1）知，

，

，又

，则

是

的中点可得

则

即

，

设D到平面ACM的距离为，由

可求得，

设所求角为，则，。

（1） 可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则

。

，

，，，，；设平面的一个法向量

，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

所以所求角的大小为。

（3）由条件可得，.在中，,所以,则

,，所以所求距离等于点到平面距离的，设点

到平面

距离为则，所以所求距离为。

思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。 例10．（1）(2009湖北卷理)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SDSD=2a，

（Ⅰ）求证：对任意的

（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为

，求

的值

，都有

，若

平面ABCD，

点E是SD上的点，且

，直线BE与平面ABCD所成的角为

18.（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE

（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=

,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD,SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE， 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。

在Rt△BDE中，在Rt△ADE中,

BD=2a，DE=

从而

在中，.

由由（I）

，得，解得

，即为所求.

.

证法2：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如

图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（

，0，0），B（

，

，

，0），C（0，

，0），E（0，0

），

即

（II）

。 解法2：

.

得

由（I）得

设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由

。

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为

.

.

0<，，

.

由于

，解得

，即为所求。

例11．已知正三棱柱对角线

的底面边长为8，

到直线AC

，D是AC的中点。（1）求点

到平面

的距离。

的距离。（2）求直线

解析：（1）连结BD，

，所以

在

中

。

（2）因为AC与平面BD//平面到平面BD

，所以

交于ＡＣ的中点Ｄ，设到平面BD

，由三垂线定理可得： 就是

点到直线AC的距离。

．

，则//DE，所以

的距离等于Ａ点到平面BD

的高。

的距离，等于Ｃ点

的距离，也就等于三棱锥