空间夹角和距离(4)

如图，四棱锥F－ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；

（II）求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积.

，AE、CF都与平面

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分

解：（I）（综合法）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OGG为垂足。连接BG、DG。由BD于是AF

平面BGD，所以BG

AC，BDAF，DG

CF得BDAF，

AF，

AF。

平面ACF，故BD

BGD为二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

（向量法）以A为坐标原点，空间直角坐标系（如图）

、

、

方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立

设平面ABF的法向量，则由得

令，得，

。

同理，可求得平面ADF的法向量由

知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。 过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，从而

由得。

又因为 故

四

棱

锥

H-ABCD

的

体

积

评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取

时，会算得

意只为

，从而所求二面角为，但依题

。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先

依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

（2）解析：球的半径是R=，三点都在球面上，两点和两点的球

面距离都是，则∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，两点的球面距离是，∠BOC=

，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角

的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，选C。

题型4：异面直线间的距离

例7．如图，已知正方体ＡＢＣＤ－求异面直线ＢＤ与

Ｃ的距离．

的中点Ｍ，，过Ｅ作ＥＦ

。

。

的公垂线，由于Ｍ为

的中点，棱长为，

解法一：连结ＡＣ交ＢＤ的中点Ｏ，取连结ＢＭ交

于Ｅ，连

，则

／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，则

又斜线同理

的射影为ＡＣ，ＢＤ

，

ＡＣ，为ＢＤ与

∽，。

，ＥＦ／／ＯＭ，，故Ｏ

Ｂ＝，．

解法二．（转化为线面距） 因为ＢＤ／／平面面

的距离

，

平面

，故ＢＤ与

的距离就是ＢＤ到平

由，即，得．

解法三．（转化为面面距）易证平面／／平面，

用等体积法易得Ａ到平面的距离为。

同理可知：到平面的距离为，而

，故两平面间距离为．

，＝

，

，

，故O到平面

的

解法四．（垂面法）如图，ＢＤ／／平面平面

，平面

平面

距离为斜边上的高。

BC于E，过E作EN

BD交

解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBD于N，易知MN为BD与

的公垂线时，MN最小。

设BE=，CE=ME=，EN=，

MN====。

当时，时，。

例8．如图2，正四棱锥底边长

。求异面直线

和

的高

，

之间的距离？

分析：建立如图所示的直角坐标系，则

，，

，

。

，

，

令向量

，且

。 ，

则，，，

，

异面直线

和

。

之间的距离为：

。

题型5：点面距离

例9．2009江西卷文）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥

平面的中点

，

中，底面

，

为直径的球面交⊥平面

；

是矩形，．以于点

．

为球心、

（1）求证：平面（2）求直线（3）求点

解：方法（一）：

与平面到平面

所成的角； 的距离．

（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ. （２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥Ｃ