空间夹角和距离(2)

∵。

∴D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为。

点评：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。 题型2：直线与平面所成的角

例3．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为PC与平面PAB所成角的余弦值是（）

，那么直线

A. B. C. D.

解：构造正方体如图所示，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，则O为正ΔABP的中心，于是∠CPO为PC与平面PAB所

成的角。设PC=a，则PO=，故

，即选C。

思维点拨：第（2）题也可利用公式例4．（2009北京卷文）（本小题共14分）

如图，四棱锥

的底面是正方形，

，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）当

；

且E为PB的中点时，求AE与

直接求得。

平面PDB所成的角的大小.

【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、

运算能力和推理论证能力．

（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵

，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

.

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE//PD，，又∵，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，

∴

，

. ，

，即AE与平面PDB所成的角的大小为

【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设

则（Ⅰ）∵

∴

，

，

，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB， ∴平面

.

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，

设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∵，

∴∴

，

，即AE与平面PDB所成的角的大小为

.

点评：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。 题型3：二面角

例5．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。

（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小

解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，

过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的

平面角。易得，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为；

（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同时，BC⊥平面BPA于B，

∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=450。

即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。

解法2（补形化为定义法）

如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，

则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两面所成二面角的平面角。

在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。 例6．（1）(2009山东卷理)（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-AB

CD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。

（1） 证明：直线EE//平面FCC； （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

=

所以CD//A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D， 又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D， 所以CF1//EE1，又因为所以直线EE//平面FCC.

（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一

平面FCC，

平面FCC，

个平面角, 在△BCF为正三角形中,

,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵

∴,

在Rt△OPF中,,,所以