任意角的三角函数 教案7(5)

生：(齐答)(2)、(4)、(7)、(8)．

师：应用其中的哪个公式可得另一个三角函数值呢？

生：用(2)、(4)可求另一个三角函数值，而用(7)、(8)则求不出来．

师：好．这是因为(6)式或(7)式中各自仍有两个量是不知道的．那么我们用公式(2)或公式(4)来求．下面请同学说一下你打算怎样做．

再把正余弦分别代入(7)、(8)式可求出tanα和cotα，最后把正、余弦代入(2)、(3)式，又可分别求出cscα和secα．

师：好．下面自己把过程写出，与书上第141页的例1对照一下结果是否正确，错误的改正过来．

师：有同学用公式(2)做的吗？有．不多．有的同学对正割、余割的用法还不太熟练，下面同学用公式(2)再做一遍．找一个同学说一下思路． 生：由公式(2)可求出cscα，再由公式(6)

csc2α－cot2α=1，

求出cotα的两个值，由已知α是第二象限的角可定出cotα取负值，把cotα代入公式(8)，可求出cosα，进而tanα，cscα，secα都可求出．

师：通过做此题我们感到，利用平方关系的式子得出的三角函数值通常会有两个，要依据题目中的条件判断取舍．本题是给出了“α是第二象限的角”的条件，可以取舍，假若没有这个条件，我们又该怎样做呢？好，请看例2．(板书)

师：此题你打算怎么做呢？

师：sinα值的符号怎样确定呢？ 生：两个值都有可能取到．

师：什么时候取正，什么时候取负，你能确定吗？ 生：能． 师：你说说看．

师：刚才这位同学已经给我们解释了为什么sinα的两个值都要取，而且要分不同的情况分别说明各取什么值．那么，α的其它三角函数值能求了吗？ 生：能求．(板书)

(找一位同学到黑板来做，其他同学在笔记本上做．)

当α是第二象限角时，

当α是第三象限角时，

师：(巡视指导后)前面板书的同学已经做完了，看做得对不对？ 生：(齐答)对．

师：大家看我这样写行吗？(下面板书)

由sin2α＋cos2α=1，得

(部分生：可以．)(部分生：不可以．)

师：下面请认为可以这样写的同学说一说理由．

这样写没有错． 师：其他同学的意见呢？

生：α角能确定出所在的象限，就可以把值确定出来，可是这样写不明确． 师：这位同学解释是对的，既然可以判断出α角所在的象限，那么就应该把具体某一象限的某一函数值说明确．像刚才我写得那样，当α是第二象限角时，还是不能明确sinα的值到底取哪一个，因此，我们以后再做此类题，能确定α所在的象限时，一定要分开求解，这样的题，一般有两组解．例2与例1相比，例1是已知一个三角函数值，并且给出α角所在象限，求其余的三角函数值，这样的题一般只有一组解．而像例2，已给一个三角函数值，未给出α角所在的象限，求其余的三角函数值，一般是先确定α角可能所在的象限，分情况来求．一般此类题有二组解．例1与例2的共同点是所给的三角函数值是具体的，如果所给的三角函数值是用字母形式给出的，我们又将如何求解呢？(板书)

例3 已知：cotα=m(m≠0)，求α的其他三角函数值．

师：这道题仍是已知α角的一个三角函数值，但是这个值是用字母m给出的，只给出了m≠0，但m是正数，还是负数并没给出，因此正、负数都可取得．而α角在第几象限呢？m为正数时，α角在第一或第三象限；m为负值时，α角在第二或第四象限，因此说α角可以是第一、第二、第三或第四象限的角．而α角的终边会不会在两个坐标轴上呢？ 生：(齐答)不会． 生：为什么？

生：(齐答)因为给了m≠0．

师：很好．这个条件如果没有怎么办？

生：(齐答)那就需要考虑α角的终边落在坐标轴上的情况． 师：题目给出m≠0，实际上是把问题简化了，还是复杂了？ 生：(齐答)简化了．

师：我们搞清了α角所在的象限，那么怎么求呢？ 生：(齐答)分四种情况去写．

师：自己写在笔记本上．(板书解题过程)

解 因为cotα=m(m≠0)，所以α角的终边不在两个坐标轴上． (1)角α是第一或第二象限的角时，

csc2α=cot2α＋1=m2＋1，

(2)角α是第三或第四象限的角时，

csc2α＝cot2α＋1＝m2＋1，

师：(写完板书后巡视)写完四种情况的同学看能不能把四种情况合写成两种呢？ (生思考)

师：黑板上我给合写出了两种情况，本质上与你们写的四种情况是一样的，只是形式上简单了一些．

师：这三道例题我们回顾一下，它们的共同点与不同点，你能用自己的语言把它们概括一下吗？

生：这三个题由易到难．例1是给一个三角函数值，并给出了角α所在的象限，利用同角公式便可求出其他三角函数值，这样的题目一般只有一组解．例2是给出一个