任意角的三角函数 教案7

任意角的三角函数

教学目标

1．使学生切实掌握任意角三角函数的定义． 2．使学生掌握三角函数的定义域及其确定方法． 3．使学生掌握三角函数值在各个象限内的符号． 4．使学生掌握诱导公式一． 教学重点与难点

教学难点为：任意角三角函数的定义．

教学重点为：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一． 教学过程设计

师：我们学过锐角的正弦、余弦、正切、余切四种函数，即在图1中所示的直角三角形ABC中，∠A是锐角，∠C是直角，那么(板书)

师：经过最近几节课的学习，我们知道角的概念已经被推广了，我们现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角，那么任意角的三角函数是怎么定义的呢？直角三角形显然不能包含所有的角． 生：借助平面直角坐标系来定义．

师：好的．这位同学可能预习了．任意角三角函数就是在平面直角坐标系内定义的．

设角α是一个任意大小的角，我们以它的顶点为原点，以它的始边为x轴的正半轴Ox，建立直角坐标系(图2)．在角α的终边任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标

正切、余切、正割、余割分别规定为(板书)

师：以前我们就知道，图1中的四个比值的大小仅与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关；同样，在图2中，六个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边上的位置无关．

师：下面咱们一起来看这六个三角函数，自变量是什么？是x？是y？是r？还是角α？大家讨论一下． 生：??

师：通过大家的讨论，咱们可以看出，只要角α确定了，就能在它的终边上取点，从而可确定x，y，计算出r的值，所以自变量应是角α． 这些函数的函数值是什么呢？ 生：两个量的比值．

师：也就是说是个实数．

由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即

实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)．

也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数．

既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出．下面我们研究各个函数的定义域．

(这几个函数的定义域并不难求，只是务必使学生明确，函数的自变量是角．定义域由学生一一做答，教师最后在黑板上列表总结．)

师：我们已经知道了三角函数的定义，下面我们就该应用定义解题了．请看例1．(板书)

例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值． 师：要求六个三角函数值，我们需要知道哪些量？ 生：x，y，r．

师：我们是必须知道这三个量，还是知道其中两个量就行了？ 生：只需知道其中的两个量．

师：例1中是否有咱们所需要的两个量？

生：有．x=2，y=－3．

师：好的．这道题就由你来解，你说我往黑板上写．(板书)

师：由三角函数的定义，我们知道，已知角α终边上一点的坐标就可以求六个三角函数值，若已知条件是某角的度数或弧度数，那么这个角的终边位置也是唯一确定的，其三角函数值也应是唯一的．这类题目应怎样求它的各个三角函数值呢？下面看例2．(板书)

例2 求下列各角的六个三角函数值．

师：咱们先看角0的六个三角函数值怎么求． 生：没想好．

师：你觉得为什么不好求呢？ 生：题目里没给出x，y的值．

师：x，y的值与所给出的角有什么关系？ 生：x，y是角的终边上一点的坐标．

师：角的终边上的哪点？ 生：可以任意选取．

师：那当然要使所取点的坐标越简单越好了，你打算取哪点？ 生：取(1，0)点．

师：现在这道题目你会做了吗？ 生：会了．

师：你说我来写在黑板上．(板书)

师：这道小题会做了，下面的两道小题也就不成问题了．大家都在笔记本上准备一下，一会儿，我叫几个同学说一下你们的答案．

(2)在角π的终边上任取一点(－1，0)，x=－1，y=0，r=1，sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，cotπ不存在，secπ=－1，cscπ不存在；