任意角的三角函数 教案7(2)

师：下一个问题是确定一下各三角函数值在每个象限的符号．

我们知道，当角的概念被推广后，我们常常把角放到平面直角坐标系中讨论．当角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上时，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．现在，我们又学习了三角函数，若一类三角函数值在同一个象限的符号是一致的，那我们既可以根据角所在象限确定出相应的三角函数的符号，又可以利用三角函数的符号确定出角所在的象限了．

下面咱们先看正弦函数的函数值在各个象限内的符号．(请好学生回答)

生：对于sinα，当角α在第一象限内时，它的符号是正的，当角α在第二象限时，??

师：等等，你所说的第一条结论正确，你能不能把你的解题方法具体地告诉我们？(尽量突出这节课的主要内容．)

α的终边落在第一象限内，而第一象限内的点的坐标都是正的，所以sinα＞0． 师：解题思路非常清楚，就是下结论前的叙述显得有点匆忙，不够确切．咱们看这样说是不是更好些？前边的就用他的说法，接着说，第一象限内的点的纵坐标都为

号为“＋”．

师：这个结论一经推出，其余问题我们也就都会解决了．下面我们再把角落在第二、第三、四象限内，将正弦函数的函数值的符号确定一下．

当角α在第三象限时，sinα的符号为“－”；当角α在第四象限时，sinα的符号也为“－”．

符号一致？

生：与y的符号一致．

师：好的．现在正弦函数的问题咱们已经解决了，下面该确定余弦函数的函数值在各个象限内的符号了．我想，得出正确结论已经不是什么难事了．只是如果请你说，你能叙述得完整吗？另外，你还有没有别的办法解决这个问题？

的符号是由x确定的，而且与x的符号相同．x是角α所在象限内的点的横坐标，所以当角α在第一象限内时，cosα的符号为“＋”，当角α在第二或第三象限时，cosα的符号为“－”；而当角α在第四象限时，cosα的符号为“＋”． 师：回答得很好．各个量之间的关系都说得非常清楚、准确． 生：还可以简单地记为：余弦函数值的符号与x的符号一致． 师：也对．只是这个结论前的一些推理咱们必须清楚．

生：对于第一、三象限内的角，正切值为正的，因为此时x，y同号；对于第二、四象限内的角，正切值为负的，因为此时x，y异号．

师：完全正确．我们研究清楚了正弦、余弦、正切函数的函数值在各个象限内的符号，剩下的三个三角函数的函数值在各个象限内的符号就好确定了．为什么？

的符号一致．

师：很好．为了便于记忆，我们不妨把刚才的结论总结于坐标系中，看看这种直观、形象的方式是否适合于你？(板书)

师：现在我们知道了三角函数的函数值是由角的终边的位置决定的．显然，当两个角相差360°的整数倍时，它们俩的终边相同，所以它们的同一个三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)．(板书)

师：这组公式使我们可以把任意角的三角函数值的问题，转化为0°～360°(或0～2π)间的角的三角函数值的问题．(板书) 例3 确定下列各三角函数值的符号．

(教师边分析边板书)

解 (1)因为250°是第三象限的角，所以cos250°＜0．

(3)(由学生解)

因为tan(－672°10′)=tan(－2×360°＋47°50′)=tan47°50′，又因为47°50′是第一象限角，所以tan(－670°10′)＞0． 师：下面咱们接着做例4．(板书)

例4 根据条件sinθ＜0且tanθ＞0，确定θ是第几象限角． (教师边讲边写)．

解 因为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边落在y轴的负半轴上．

因为tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限．

由于sinθ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限．

师：下面咱们小结一下这节课，这节课的主要内容是任意角三角函数的定义，通过对这一定义的学习，我们要掌握六个三角函数的定义域，要会利用定义，求出各三角函数在每个象限的符号并且记住各结论．要知道公式一的理论依据就是任意角三角函数的定义，当然还要掌握公式一．

作业：课本P138练习一第1，2，3，4，5，6题．其中第2，3题写在书上，其余的写在本上．

课堂教学设计说明 1．复习锐角三角函数． 2．讲解任意角三角函数的定义．

3．用列表的形式总结出各个三角函数的定义域．

4．例1是三角函数定义的最简单、直接的应用．例2是应用任意角三角函数的定义解题．

5．利用三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号，确定各三角函数值在每个象限的符号． 6．诱导公式一

7．例3和例4． 8．小结、作业．

为什么要采取以上步骤呢？因为本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角三角函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了两道应用定义的例题，即例1和例2．此外，三角函数与学生们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，在讲课时注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域．

应用三角函数的定义，可判断出三角函数在各个象限的符号．对于这点，教师觉得学生完全有能力自己完成，所以，这块知识是以教师提问学生回答，最后一起做总结的形式完成的．

诱导公式一，也是任意角三角函数定义的再次应用，有了它，我们就可以把求任意角的三角函数值问题，转化为求0°～360°(或0～2π)间角的三角函数值的问题了． 板书设计