高考中常用的数学概念、公式、中间结论(6)

ax2?bx?c?0(a?0)的解集为?x|x1?x?x2?.

提示:若a<0,则可以先进行转化,使x的系数为正,但是一定要注意在转化过程中不等号的变化.

y－2

12．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知x＋2

22

区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)＋(y－1)是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．

nn13.a＞b＞0 ?a＞b (n∈N,n≥1).

a>b>0?错误！未找到引用源。 a＞b (n∈N,n≥2). 14.六个重要的不等式

2

(1)|a|?0, a?0(a∈R);

22

(2)a+b?2ab(a,b∈R);

(3)错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。(a,b>0);

2

(4)ab?（错误！未找到引用源。）(a,b?R); (5)错误！未找到引用源。a2?b222

nn ?错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。?错误！

未找到引用源。(a,b>0);

222

(6)2(a+b)?(a+b)(a,b∈R,当a=b时等号成立). 15.a2?b2?c2?ab?bc?ca.(a,b,c?R)

16.定理:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 结论：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

17.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 |x|a a>0 {x|-a0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;

②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想. 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

提示:数轴上,设与实数x,a,b对应的点分别为P,A,B,则|x-a|+|x-b|的几何意义为|PA|+|PB|.

(4)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解. 18.柯西不等式二维形式:

22222

若a,b,c,d都是实数,则(a+b)(c+d)≥(ac+bd),当且仅当ad=bc时,等号成立. 19.复数的几个常见结论

1＋i1－i2

(1)(1±i)＝±2i； (2)＝i，＝－i；

1－i1＋i

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(3)i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i， i＋i＋i＋i＝0(n∈Z)； 20.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上;

③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 21.（1）直线与圆的位置关系

几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相离，d＝r?相切． （2）圆与圆的位置关系

几何法:设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2

两圆外离?|O1O2|>r1+r2;2条内公切线，2条外公切线 两圆外切?|O1O2|=r1+r2;1条内公切线，2条外公切线 两圆相交?|r2-r1|<|O1O2|

（3）直线与椭圆的位置关系

将直线与椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离. 22. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

F1、F2为椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,则有|PF1|∈[a-c,a+c]. (2)双曲线中的最值

F1、F2为双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P1为双曲线左支上的任一点, P2为双曲线右支上的任一点,O为坐标原点,则有 ①|OP1|≥a. P2a. 1P2?②|P1F1|≥c-a. P2F1? c+a.

23. 圆锥曲线中涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点A、B的坐标,弦中点M坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.

椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)中有k222yx椭圆2?2?1(a>b>0)中有kOM?kAB??a. abb2OM4n4n＋14n＋24n＋34n4n＋14n＋24n＋3

?kAB??b2 .a2双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)中有k222双曲线y2?x2?1(a>0,b>0) 中有kOM?kAB?a.

2OM?kAB?b2 .a2abb

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