高考中常用的数学概念、公式、中间结论(3)

3.换底公式：logb?logcb.(a?0,a?1.c?0,c?1.b?0.)

alogca4.导数公式及运算法则 (1)导数公式：

c′=0 （c为常数） ； (xn)′=nxn?1 （n?Q*）； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0且a≠1)； (ex)′＝ex； 11

(logax)′＝(a>0且a≠1)； (ln x)′＝. xln ax

(2)导数的四则运算法则

①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);

②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

u?xvx?uxv?x③[错误！未找到引用源。u?x?]′=错误！未找到引用源。?????2???

v?x???v?x???

7

(3)复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系

'为yx=f′(u)g′(x).

5.同角三角函数的基本关系

sin α

(1)商数关系：＝tanα.(α≠错误！未找到引用源。+kπ,k∈Z)；

cos α22

(2)平方关系：sinα＋cosα＝1(α∈R)． 6.诱导公式 组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tan α 函数名不变 符号看象限 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α 五 六 错误！未找错误！未找到引用源。到引用源。-α +α cos α sin α cos α -sin α 函数名改变 符号看象限 π诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k2±α(k∈

2

Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, 余余正正符号异 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, 正余余正符号同 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β tan(α+β)=错误！未找到引用源。tan(α-β)=错误！未找到引用源。

tan??tan??π???,?,?????kπ,k?Z?, 1?tan?tan??2?tan??tan??π???,?,?????kπ,k?Z? 1?tan?tan??2?8.二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2α=2sin αcos α.

2222

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α. tan 2α=错误！未找到引用源。

2tan?.

1?tan2?9.公式的常见变式

(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β). (2)sinα=错误！未找到引用源。

2

1?cos2?1?cos2?2

; cosα=错误！未找到引用源。; 22sin α2cos α=错误！未找到引用源。.

??(3)1+cos α=错误！未找到引用源。2cos2; 1-cos α=2sin2;

22 8

????1+sin α=?sin?cos?错误！未找到引用源。; 1-sin α=错误！未找到引用源。

22???????sin?cos?. 22??2210.形如asin x+bcos x的式子的化简

asin x+bcosx=错误！未找到引用源。a2?b2sin(x+?)

(其中sin ?=错误！未找到引用源。ba?b22,cos ?=错误！未找到引用

源。).

11.正弦定理: 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2R(2R为△ABC外接圆的直径).

变形:a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.

sin A=错误！未找到引用源。, sin B=错误！未找到引用源。, sin C=错误！未

找到引用源。.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

222222222

12.余弦定理: a=b+c-2bccos A, b=a+c-2accos B, c=a+b-2abcos C.

推论:cos A=错误！未找到引用源。ba2?c2?b22ac2?c2?a22bc, cos B=错误！未找到引用源。

, cos C=a2?b2?c22ab错误！未找到引用源。.

13.三角形常用面积公式

(1)S=错误！未找到引用源。a2ha(ha表示边a上的高); (2)S=错误！未找到引用源。absin C=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。acsin B;

(3)S=错误！未找到引用源。r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 注意：圆锥曲线题求三角形面积有时会用分割法。

14.平面向量的运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2); (2)若a=(x,y),则λa=(λx,λy).

??22

|a|＝a2a＝x＋y. ?a??a.

(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则中点C(x1?x2,y1?y2). AB?(x2?x1,y2?y1)

22(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

a2bx1x2＋y1y2

则cos θ＝＝2 . 222

|a||b|x1＋y1 x2＋y2

(a?b)?(c?d)?a?c?a?d?b?c?b?d.

15.等差数列

(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 通项的推广:an=am+(n-m)d.

(2)等差数列的前n项和公式Sn=

n?a1?an?2错误！未找到引用源。= na1?n?n?1?d2

9

16.等比数列

n-1

(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=a1q. 通项公式的推广

n-m

an=am2q.

a1?1－qn?a1－anq

(2)等比数列的前n项和公式 ： q≠1，Sn＝＝

1－q1－qq＝1，Sn＝na1

17. 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z12z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

?bdbc?ad ④除法:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=ac?2i222c?dc?d(c+di≠0).

18. 表面积和体积公式

①柱体的体积V=Sh; ②锥体的体积V=错误！未找到引用源。Sh; ③台体的体积V=错误！未找到引用源。(S′+错误！未找到引用源。SS?+S)h ④球的表面积和体积: S球＝4?R2， V球＝4?R3.

31319.空间向量运算的坐标表示

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么

①加、减运算:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2). ②数量积:a2b=x1x2+y1y2+z1z2.

③夹角公式:cos=错误！未找到引用源。x1x2?y1y2?z1z2222x?y12?z12x2?y2?z221. ④模长公式:|a|=错误！未找到引用源。a?a=错误！未找到引用源。x12?y12?z12. ⑤数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R).

⑥平行的充要条件:a∥b ? x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R). ⑦垂直的充要条件:a⊥b ? x1x2+y1y2+z1z2=0. 20．用向量求空间中角的公式

(1)直线l1，l2夹角θ有 cos θ＝|cos〈l1，l2〉|；

(2)直线l与平面α的夹角?有：sin?＝|cos〈l，n〉|(其中n是平面α的法向量)；

(3)平面α，β夹角余弦为cos? =cos?=|cos〈n1，n2〉|，则α -l-β二面角的平面角为θ或π－θ.(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量) 21.求空间距离 (1)两点间距离求法

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|错误！未找到引用源。|=错误！未找源。?x1到引用

?x2???y1?y2???z1?z2?222. 10